【題目】已知橢圓C:的兩個焦點分別為,,點P是橢圓上的任意一點,且的最大值為4,橢圓C的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).
Ⅰ求橢圓C的方程;
Ⅱ設(shè)點,過點P作兩條直線,與圓相切且分別交橢圓于M,N,求證:直線MN的斜率為定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.
【解析】
Ⅰ利用橢圓的離心率,以及基本不等式和橢圓的定義,求出a,b,然后求解橢圓方程.
Ⅱ直線,的斜率存在,設(shè)為,,,,直線,與圓相切,則有,直線的方程為直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,求出,同理,當(dāng)與橢圓相交時,然后求解直線的斜率即可.
解:Ⅰ雙曲線的離心率為,
可得橢圓C的離心率為,設(shè)橢圓的半焦距為c,,
,
,
,
又
橢圓方程為;
Ⅱ證明:顯然兩直線,的斜率存在,
設(shè)為,,,,
由于直線,與圓相切,則有,
直線的方程為,
聯(lián)立橢圓方程,
消去y,得,
,M為直線與橢圓的交點,所以,
同理,當(dāng)與橢圓相交時,,
,而,
直線MN的斜率.
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【題目】如圖,用四種不同的顏色給圖中的A,B,C,D,E,F,G七個點涂色,要求每個點涂一種顏色,且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色,則不同的涂色方法有( )
A.192B.336C.600D.以上答案均不對
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【題目】已知拋物線的焦點為,過的直線交拋物線于,兩點
(1)若以,為直徑的圓的方程為,求拋物線的標準方程;
(2)過,分別作拋物線的切線,,證明:,的交點在定直線上.
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【題目】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為32,48,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調(diào)查.
Ⅰ應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?
Ⅱ若抽出的7人中有3人睡眠不足,4人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.
用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差;
設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.
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【題目】雙十一購物狂歡節(jié),源于淘寶商城(天貓)年月日舉辦的網(wǎng)絡(luò)促銷活動,目前已成為中國電子商務(wù)行業(yè)的年度盛事,某商家為了解“雙十一”這一天網(wǎng)購者在其網(wǎng)店一次性購物情況,從這一天交易成功的所有訂單里隨機抽取了份,按購物金額(單位:元)進行統(tǒng)計,得到如下頻率分布直方圖(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值做代表計算).
(1)求的值;
(2)試估計購物金額的平均數(shù);
(3)若該商家制訂了兩種不同的促銷方案:
方案一:全場商品打八折;
方案二:全場商品優(yōu)惠如下表:
購物金額范圍 | ||||||
商家優(yōu)惠(元) |
如果你是購物者,你認為哪種方案優(yōu)惠力度更大?
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【題目】如圖,要在河岸的一側(cè)修建一條休閑式人行道,進行圖紙設(shè)計時,建立了圖中所示坐標系,其中,在軸上,且,道路的前一部分為曲線段,該曲線段為二次函數(shù)在時的圖像,最高點為,道路中間部分為直線段,,且,道路的后一段是以為圓心的一段圓弧.
(1)求的值;
(2)求的大;
(3)若要在扇形區(qū)域內(nèi)建一個“矩形草坪”,在圓弧上運動,、在上,記,則當(dāng)為何值時,“矩形草坪”面積最大.
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【題目】在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且asin B=-bsin.
(1)求A;
(2)若△ABC的面積S=c2,求sin C的值.
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【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),以直角坐標系原點為極點,x軸非負半軸為極軸并取相同的單位長度建立極坐標系,
(1)求曲線C的極坐標方程,并說明其表示什么軌跡;
(2)若直線l的極坐標方程為,求曲線C上的點到直線l的最大距離.
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