Question

過點(diǎn)P(-

3

，0）作直線l與橢圓3x²+4y²=12相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積的最大值及此時(shí)直線l的斜率．

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：x=my-

3

，S△AOB=

1

2

|OP|•|y1|+

1

2

|OP||y2|=

3

(|y1|+|y2|)=

3

(y1-y2)，把x=my-

3

代入橢圓方程，得(3m2+4)y2-6

3

my-3=0，由此能求出△OAB的面積的最大值及此時(shí)直線l的斜率．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：x=my-

3

，
S△AOB=

1

2

|OP|•|y1|+

1

2

|OP||y2|
=

1

2

×

3

(|y1|+|y2|)=

1

2

×

3

(y1-y2)，
把x=my-

3

代入橢圓方程，得3（m²y²-2

3

my+3）+4y²-12=0，
即(3m2+4)y2-6

3

my-3=0，
y1+y2=

6 3 m

3m2+4

，y₁y₂=-

3

3m2+4

，
|y₁-y₂|=

108m2 (3m2+4)2 + 12 3m2+4

=

1

3m2+4

144x2+48

=

4 9m2+3

3m2+4

=

4 3 • 3m2+1

3m2+4

=

4 3 • 3m2+1

(3m2+1)+3

=

4 3 • 3m2+1

(3m2+1)+3

=

4 3 m

3m2+1 + 3 3m2+1

≤

4 3

2 3

=2，
∴S_△AOB≤

3

2

×2=

3

，
此時(shí)

3m2+1

=

3

3m2+1

，m=±

6

3

，
令直線的傾斜角為α，則k=tanα=±

3

6

=±

6

2

．
故△OAB的面積的最大值為

3

，此時(shí)直線l的斜率±

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)，解題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行求解．