解:(Ⅰ)由

a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x 即

┉┉┉┉┉┉┉┉1分
記

,則f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等價于

.
求得

┉┉┉┉┉┉┉┉2分
當

時;

;當

時,

┉┉┉┉┉┉┉┉3分
故

在x=e處取得極小值,也是最小值,
即

,故

. ┉┉┉┉┉┉┉┉4分
(Ⅱ)函數(shù)k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有兩個不同的零點等價于方程x-2lnx=a,在[1,3]上恰有兩個相異實根。┉┉┉┉┉┉┉┉5分
令g(x)=x-2lnx,則

┉┉┉┉┉┉┉┉6分
當

時,

,當

時,

g(x)在[1,2]上是單調(diào)遞減函數(shù),在

上是單調(diào)遞增函數(shù)。
故

┉┉┉┉┉┉┉┉8分
又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)

<a≤g(3),
故a的取值范圍是(2-2ln2,3-2ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉9分
(Ⅲ)存在m=

,使得函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定

義域上具有相同的單調(diào)性

,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)。┉┉┉┉┉┉10分
若

,則


,函數(shù)f(x)在(0,+

∞)上單調(diào)遞增,不合題意;┉┉┉11分
若

,由

可得2x
2-m>0,解得x>

或x<-

(舍去)
故

時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(

,+∞)
單調(diào)遞減區(qū)間為(0,

) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分
而h(x)在(0,+∞)上的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,

),單調(diào)遞增區(qū)間是(

,+∞)
故只需

=

,解之得m=

┉┉┉┉┉┉┉┉13分
即當m=

時,函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在其公共定義域上具有相同的單調(diào)性。┉14分.