是否存在圓錐曲線C,同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:
(1)原點(diǎn)O及直線為曲線C的焦點(diǎn)和相應(yīng)的準(zhǔn)線;
(2)被直線垂直平分的直線截曲線C所得的弦長(zhǎng)恰好為。
若存在,求出曲線C的方程,若不存在,說(shuō)明理由。
解:設(shè)存在符合題設(shè)的圓錐曲線C,此曲線離心率為(>0),P(x,y)是曲線C上任一點(diǎn)。
由圓錐曲線的定義有
化簡(jiǎn)整理得, ①
設(shè)曲線C被直線垂直平分,其弦長(zhǎng)為的弦所在直線方程為,這弦的兩個(gè)端點(diǎn)
將代入①式中,消去y得
②
由題意0,
由此可解得AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為
由條件(2),中點(diǎn)D在,于是有:
解③,代入④得。
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,因此符合條件的曲線C存在,其方程為。
這是一道開(kāi)放性的題目,探求滿足上述兩個(gè)條件的圓錐曲線是否存在,本題的難點(diǎn)是題目沒(méi)有具體的給出圓錐曲線的形狀,由條件(1)給出焦點(diǎn)和相應(yīng)的準(zhǔn)線,因此可考慮用圓錐曲線統(tǒng)一定義,設(shè)離心率為,通過(guò)計(jì)算,推理,探求的存在性。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
AM |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:高三數(shù)學(xué)教學(xué)與測(cè)試 題型:044
是否存在一條圓錐曲線C,同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:(1)以點(diǎn)F(-1,0)為焦點(diǎn),以直線x=-4為準(zhǔn)線;(2)與拋物線=x-2有且只有一個(gè)公共點(diǎn).若存在,求出曲線C的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
設(shè)A是單位圓x2+y2=1上任意一點(diǎn),l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線,D是直線l與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)M在直線l上,且滿足當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)M的軌跡為曲線C。
(1)求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)。
(2)過(guò)原點(diǎn)斜率為K的直線交曲線C于P,Q兩點(diǎn),其中P在第一象限,且它在y軸上的射影為點(diǎn)N,直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H,是否存在m,使得對(duì)任意的K>0,都有PQ⊥PH?若存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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