是否存在圓錐曲線C,同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:

         (1)原點(diǎn)O及直線為曲線C的焦點(diǎn)和相應(yīng)的準(zhǔn)線;

         (2)被直線垂直平分的直線截曲線C所得的弦長(zhǎng)恰好為。

         若存在,求出曲線C的方程,若不存在,說(shuō)明理由。

                  

解:設(shè)存在符合題設(shè)的圓錐曲線C,此曲線離心率為>0),Px,y)是曲線C上任一點(diǎn)。

         由圓錐曲線的定義有

         化簡(jiǎn)整理得,                ①

         設(shè)曲線C被直線垂直平分,其弦長(zhǎng)為的弦所在直線方程為,這弦的兩個(gè)端點(diǎn)

         將代入①式中,消去y

                                ②

         由題意0,

        

         由此可解得AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為

        

         由條件(2),中點(diǎn)D,于是有:

        

         解③,代入④得。

         經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,因此符合條件的曲線C存在,其方程為


解析:

這是一道開(kāi)放性的題目,探求滿足上述兩個(gè)條件的圓錐曲線是否存在,本題的難點(diǎn)是題目沒(méi)有具體的給出圓錐曲線的形狀,由條件(1)給出焦點(diǎn)和相應(yīng)的準(zhǔn)線,因此可考慮用圓錐曲線統(tǒng)一定義,設(shè)離心率為,通過(guò)計(jì)算,推理,探求的存在性。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•湖北)設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn),i是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線,D是直線i與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)M在直線l上,且滿足丨DM丨=m丨DA丨(m>0,且m≠1).當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(I)求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求焦點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點(diǎn),其中P在第一象限,它在y軸上的射影為點(diǎn)N,直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H,是否存在m,使得對(duì)任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•廣州三模)如圖,長(zhǎng)為m+1(m>0)的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng),點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn),且
AM
=m
MB

(1)求點(diǎn)M的軌跡Γ的方程,并判斷軌跡Γ為何種圓錐曲線;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)Q(
1
2
,0)且斜率不為0的直線交軌跡Γ于C、D兩點(diǎn).試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)P,使PQ平分∠CPD?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:高三數(shù)學(xué)教學(xué)與測(cè)試 題型:044

是否存在一條圓錐曲線C,同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:(1)以點(diǎn)F(-1,0)為焦點(diǎn),以直線x=-4為準(zhǔn)線;(2)與拋物線=x-2有且只有一個(gè)公共點(diǎn).若存在,求出曲線C的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)A是單位圓x2+y2=1上任意一點(diǎn),l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線,D是直線l與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)M在直線l上,且滿足當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)M的軌跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)。

(2)過(guò)原點(diǎn)斜率為K的直線交曲線C于P,Q兩點(diǎn),其中P在第一象限,且它在y軸上的射影為點(diǎn)N,直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H,是否存在m,使得對(duì)任意的K>0,都有PQ⊥PH?若存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

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