Question

設(shè)b＞0，橢圓方程為，拋物線方程為x²=8（y-b），如圖所示，過點(diǎn)F(0，b+2)作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G，已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F₁，
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設(shè)A，B分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

Answer 1

解：（1）由得，
當(dāng)y=b+2得x=±4，
∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，b+2)，，
過點(diǎn)G的切線方程為y-（b+2）=x-4即y=x+b-2，
令y=0得x=2-b，
∴F₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-b，0），
由橢圓方程得F₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，0），
∴2-b=b即b=1，
即橢圓和拋物線的方程分別為和；
（2）∵過A作x軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P，
∴以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個(gè)，
同理∴以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個(gè)。
若以∠PAB為直角，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，
，
關(guān)于x²的二次方程有一大于零的解，
∴x有兩解，即以∠PAB為直角的Rt△ABP有兩個(gè)，
因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得△ABP為直角三角形。