【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,左項(xiàng)點(diǎn)為上頂點(diǎn)為.已知.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)為橢圓上在第一象限內(nèi)一點(diǎn),射線與橢圓的另一個(gè)公共點(diǎn)為,滿足,直線交軸于點(diǎn),的面積為.
(i)求橢圓的方程.
(ii)過點(diǎn)作不與軸垂直的直線交橢圓于(異于點(diǎn))兩點(diǎn),試判斷的大小是否為定值,并說明理由.
【答案】(1);(2)(i) (ii) 是定值,證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù),得到,之間的關(guān)系,從而得到離心率;(2)(i)設(shè)橢圓方程為,根據(jù),得到,代入橢圓方程得,從而得到直線的方程和點(diǎn)坐標(biāo),表示出的面積,解出,得到橢圓方程;(ii) 設(shè)直線的方程為: ,與橢圓聯(lián)立得到,,對(duì)進(jìn)行計(jì)算化簡(jiǎn),從而得到,是定值.
(1),,則
因?yàn)?/span>,
所以
解得,
所以.
(2)(i)由(1)得,即,
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
由題意設(shè),所以,
由,易知,
所以,得,
代入橢圓方程得,
所以
所以,直線,
令得
所以,
所以,
解得,
所以橢圓的方程為
(ii)顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)部,直線的斜率存在且不為.
設(shè)直線的方程為:
聯(lián)立方程,化簡(jiǎn)得,
設(shè),
則,
又,則,,
所以是定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種水果按照果徑大小可分為四類:標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購(gòu)商從采購(gòu)的一批水果中隨機(jī)抽取個(gè),利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下:
等級(jí) | 標(biāo)準(zhǔn)果 | 優(yōu)質(zhì)果 | 精品果 | 禮品果 |
個(gè)數(shù) | 10 | 30 | 40 | 20 |
(1)若將頻率是為概率,從這個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取個(gè),求恰好有個(gè)水果是禮品果的概率.(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)
(2)用樣本估計(jì)總體,果園老板提出兩種購(gòu)銷方案給采購(gòu)商參考.
方案:不分類賣出,單價(jià)為元.
方案:分類賣出,分類后的水果售價(jià)如下:
等級(jí) | 標(biāo)準(zhǔn)果 | 優(yōu)質(zhì)果 | 精品果 | 禮品果 |
售價(jià)(元/kg) | 16 | 18 | 22 | 24 |
從采購(gòu)單的角度考慮,應(yīng)該采用哪種方案?
(3)用分層抽樣的方法從這個(gè)水果中抽取個(gè),再?gòu)某槿〉?/span>個(gè)水果中隨機(jī)抽取個(gè),表示抽取的是精品果的數(shù)量,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.
(1)設(shè),判斷在上是否為有界函數(shù),若是,請(qǐng)說明理由,并寫出的所有上界的集合;若不是,也請(qǐng)說明理由;
(2)若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設(shè)分別為橢圓C的左右頂點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,直線AP,BP分別與直線相交于點(diǎn)M,N.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),以M,N為直徑的圓是否經(jīng)過軸上的定點(diǎn)?試證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)設(shè)橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、,是橢圓與雙曲線的公共點(diǎn),且△的周長(zhǎng)為6,求橢圓的方程;我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”;
(2)如圖,已知“盾圓”的方程為,設(shè)“盾圓”上的任意一點(diǎn)到的距離為,到直線的距離為,求證:為定值;
(3)由拋物線弧()與第(1)小題橢圓弧()所合成的封閉曲線為“盾圓”,設(shè)過點(diǎn)的直線與“盾圓”交于、兩點(diǎn),,,且(),試用表示,并求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市2013年發(fā)放汽車牌照12萬(wàn)張,其中燃油型汽車牌照10萬(wàn)張,電動(dòng)型汽車2萬(wàn)張,為了節(jié)能減排和控制總量,從2013年開始,每年電動(dòng)型汽車牌照按50%增長(zhǎng),而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5萬(wàn)張,同時(shí)規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬(wàn)張,以后每一年發(fā)放的電動(dòng)車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.
(1)記2013年為第一年,每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)量構(gòu)成數(shù)列,每年發(fā)放電動(dòng)型汽車牌照數(shù)為構(gòu)成數(shù)列,完成下列表格,并寫出這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)從2013年算起,累計(jì)各年發(fā)放的牌照數(shù),哪一年開始超過200萬(wàn)張?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是數(shù)列的前項(xiàng)和,對(duì)任意,都有;
(1)若,求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè),若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“互聯(lián)網(wǎng)+”是“智慧城市”的重要內(nèi)容,A市在智慧城市的建設(shè)中,為方便市民使用互聯(lián)網(wǎng),在主城區(qū)覆蓋了免費(fèi)WiFi為了解免費(fèi)WiFi在A市的使用情況,調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析,得到如下列聯(lián)表(單位:人):
經(jīng)常使用免費(fèi)WiFi | 偶爾或不用免費(fèi)WiFi | 合計(jì) | |
45歲及以下 | 70 | 30 | 100 |
45歲以上 | 60 | 40 | 100 |
合計(jì) | 130 | 70 | 200 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),判斷是否有90%的把握認(rèn)為A市使用免費(fèi)WiFi的情況與年齡有關(guān);
(2)將頻率視為概率,現(xiàn)從該市45歲以上的市民中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次.記被抽取的3人中“偶爾或不用免費(fèi)WiFi”的人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的分布列,數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X).附:,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生自主學(xué)習(xí)期間完成數(shù)學(xué)套卷的情況,一名教師對(duì)某班級(jí)的所有學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表.
(1)從這班學(xué)生中任選一名男生,一名女生,求這兩名學(xué)生完成套卷數(shù)之和為4的概率?
(2)若從完成套卷數(shù)不少于4套的學(xué)生中任選4人,設(shè)選到的男學(xué)生人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)試判斷男學(xué)生完成套卷數(shù)的方差與女學(xué)生完成套卷數(shù)的方差的大小(只需寫出結(jié)論).
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