Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對任意實(shí)數(shù)m，n，總有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．
（1）試求f（0）的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（3）若對任意x∈[1，4]時(shí)，不等式f（x²+2）＜f（ax）都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令m=1，n=0，得出f（1）=f（1）•f（0 ），再結(jié)合當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．得出f（0）=1
（2）設(shè)x₁＞x₂，由已知得出f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂ ）•f（x₂），且能得出0＜f（x₁-x₂）＜1，確定出f（x₁）＜f（x₂）后即可判斷出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
 （3）由（2），不等式化為x²+2＞ax，利用分離參數(shù)的方法得出即a＜x+

2

x

對x∈[1，4]恒成立，a＜(x+

2

x

)min   求出y=x+

2

x

在[1，4]上的最小值后便可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）令m=1，n=0則f（1）=f（1）•f（0）又0＜f（1）＜1∴f（0）=1
（2）設(shè)x＜0則-x＞0∴0＜f（-x）＜1而f(x)=

f(0)

f(-x)

=

1

f(-x)

∴f（x）＞1即對任意x∈R有f（x）＞0
設(shè)x₁＞x₂則  x₁-x₂＞0，∴0＜f（x₁-x₂）＜1
于是，

f(x1)

f(x2)

=f(x1-x2)＜1∴f（x₁）＜f（x₂）
所以，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
（3）∵f（x）在R上單調(diào)遞減∴f（x²+2）＜f（ax）?x²+2＞ax
則不等式x²-ax+2＞0對x∈[1，4]恒成立  即a＜x+

2

x

對x∈[1，4]恒成立∴a＜(x+

2

x

)min而y=x+

2

x

在[1，4]上的最小值為2

2

所以，a＜2

2

．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)求函數(shù)值、單調(diào)性的判定、及單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化、分離參數(shù)的思想方法．牢牢把握所給的關(guān)系式，對式子中的字母準(zhǔn)確靈活的賦值，變形構(gòu)造是解決抽象函數(shù)問題常用的思路．