【題目】如圖,四棱錐S—ABCD的底面是正方形,側(cè)棱SA⊥底面ABCD,
過(guò)A作AE垂直SB交SB于E點(diǎn),作AH垂直SD交SD于H點(diǎn),平面AEH交SC于K點(diǎn),且AB=1,SA=2.
(1)證明E、H在以AK為直徑的圓上,且當(dāng)點(diǎn)P是SA上任一點(diǎn)時(shí),試求的最小值;
(2)求平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)將側(cè)面繞側(cè)棱旋轉(zhuǎn)到與側(cè)面在同一平面內(nèi),當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),取最小值,這時(shí),的最小值即線段的長(zhǎng),由此能求出結(jié)果;
(2)以A為原點(diǎn),分別以AB、AD、AS所在的直線為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面AEKH與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.
(1)∵SA⊥底面ABCD,∴SA⊥BC,又AB⊥BC,
∴BC⊥平面SAB,又平面SAB,∴EA⊥BC,又∵AE⊥SB,∴AE⊥平面SBC ,
又平面SBC,∴EA⊥EK, 同理 AH⊥KH,
∴E、H在以AK為直徑的圓上
現(xiàn)將側(cè)面SAB繞側(cè)棱SA旋轉(zhuǎn)到與側(cè)面SAD在同一平面內(nèi),如右圖示,
則當(dāng)B、P、H三點(diǎn)共線時(shí),取最小值,這時(shí),的
最小值即線段BH的長(zhǎng),設(shè),則,
在中,∵,∴,
在三角形BAH中,有余弦定理得:
∴.
(2)以A為原點(diǎn),分別以AB、AD、AS所在的直線為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則S(0,0,2),C(1,1,0),由(1)可得AE⊥SC,AH⊥SC,
∴SC⊥平面AEKH,為平面AEKH的一個(gè)法向量,
為平面ABCDF的一個(gè)法向量,設(shè)平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的平面角為,則
∴平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機(jī)對(duì)心肺疾病入院的人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合計(jì) | |
男 | A | ||
女 | |||
合計(jì) | B |
(1)根據(jù)已知條件求出上面的列聯(lián)表中的A和B;用分層抽樣的方法在患心肺疾病的人群中抽人,其中男性抽多少人?
(2)為了研究心肺疾病是否與性別有關(guān),請(qǐng)計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量,并說(shuō)明是否有的把握認(rèn)為心肺疾病與性別有關(guān)?
下面的臨界值表供參考:
參考公式: ,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C:(x﹣1)2+y2=r2(r>0)與直線l:y=x+3,且直線l有唯一的一個(gè)點(diǎn)P,使得過(guò)P點(diǎn)作圓C的兩條切線互相垂直,則r=;設(shè)EF是直線l上的一條線段,若對(duì)于圓C上的任意一點(diǎn)Q,∠EQF≥ ,則|EF|的最小值= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為建立健全國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測(cè)評(píng)價(jià)機(jī)制,激勵(lì)學(xué)生積極參加身體鍛煉,教育部印發(fā)《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)(2014年修訂)》,要求各學(xué)校每學(xué)期開(kāi)展覆蓋本校各年級(jí)學(xué)生的《標(biāo)準(zhǔn)》測(cè)試工作,并根據(jù)學(xué)生每個(gè)學(xué)期總分評(píng)定等級(jí).某校決定針對(duì)高中學(xué)生,每學(xué)期進(jìn)行一次體質(zhì)健康測(cè)試,以下是小明同學(xué)六個(gè)學(xué)期體質(zhì)健康測(cè)試的總分情況.
學(xué)期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
總分(分) | 512 | 518 | 523 | 528 | 534 | 535 |
(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明與的線性相關(guān)程度,并用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程(線性相關(guān)系數(shù)保留兩位小數(shù));
(2)在第六個(gè)學(xué)期測(cè)試中學(xué)校根據(jù) 《標(biāo)準(zhǔn)》,劃定540分以上為優(yōu)秀等級(jí),已知小明所在的學(xué)習(xí)小組10個(gè)同學(xué)有6個(gè)被評(píng)定為優(yōu)秀,測(cè)試后同學(xué)們都知道了自己的總分但不知道別人的總分,小明隨機(jī)的給小組內(nèi)4個(gè)同學(xué)打電話詢問(wèn)對(duì)方成績(jī),優(yōu)秀的同學(xué)有人,求的分布列和期望.
參考公式: ,;
相關(guān)系數(shù);
參考數(shù)據(jù):,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域,值域是;定義域,值域是,其中實(shí)數(shù)滿足.
甲:如果任意,存在,使得,那么;
乙:如果存在,存在,使得,那么;
丙:如果任意,任意,使得,那么;
。喝绻嬖,任意,使得,那么;
請(qǐng)判斷上述四個(gè)命題中,假命題的個(gè)數(shù)是( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將2006表示成5個(gè)正整數(shù)之和. 記. 問(wèn):
(1)當(dāng)取何值時(shí),S取到最大值;
(2)進(jìn)一步地,對(duì)任意有,當(dāng)取何值時(shí),S取到最小值. 說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù);
(1)若函數(shù)在上為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最值;
(3)當(dāng)時(shí),對(duì)大于1的任意正整數(shù),試比較與的大小關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中正確的命題是( )
A.若存在,當(dāng)時(shí),有,則說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù):
B.若存在(,,、),當(dāng)時(shí),有,則說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);
C.函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,若對(duì)任意的,都有,則函數(shù)在上一定是減函數(shù):
D.若對(duì)任意,當(dāng)時(shí),有,則說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=a(x﹣1)2+lnx+1,g(x)=f(x)﹣x,其中a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=﹣ 時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),若y=f(x)圖象上的點(diǎn)都在 所表示的平面區(qū)域內(nèi),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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