Question

3．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（0≤α＜π，t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為ρ=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，并說明曲線C的形狀；
（Ⅱ）若直線l經(jīng)過點（1，0），求直線l被曲線C截得的線段AB的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將原極坐標方程ρ=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$兩邊同時乘以ρ，利用極坐標與直角坐標之間的關系即可得出其直角坐標方程；
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標方程，再代入曲線C的標準方程：y²=4x得：x²-6x+1=0，利用直線l經(jīng)過點（1，0），即可得到直線l被曲線C截得的線段AB的長．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$得ρsin²θ=4cosθ得，ρ²sin²θ=4ρcosθ，
即曲線C的直角坐標方程為y²=4x，
故切線C是拋物線；              
（Ⅱ）由直線l經(jīng)過點（1，0）和（0，1），所以其方程為x+y=1．
故直線l的直角坐標方程是x+y-1=0，
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y，得x²-6x+1=0，
則x_A+x_B=6，
又點（1，0）是拋物線的焦點，
由拋物線定義，得弦長|AB|=x_A+x_B+2=6+2=8．

點評 本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，以及利用平面幾何知識解決最值問題．利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得．