Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的焦距為2 ，長軸長為4．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）如圖，過坐標原點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C交于A，B兩點．設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直線AB的方程為y=﹣2x+m（m＞0），試求m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C： =1（a＞b＞0）的焦距為2 ，長軸長為4，
∴c= ，a=2，
∴b=1，
∴橢圓C的標準方程為 =1；
（Ⅱ）直線AB的方程為y=﹣2x+m（m＞0），代入橢圓方程得
17x2﹣16mx+4m2﹣4=0，
則x1+x2= ，x1x2= ，①
由OA⊥OB，
知x1x2+y1y2=x1x2+（﹣2x1+m）（﹣2x2+m）
=5x1x2﹣2m（x1+x2）+m2=0，
將①代入，得5× ﹣2m× +m2=0，
∵m＞0，
∴m=2．
【解析】（Ⅰ）利用橢圓C： =1（a＞b＞0）的焦距為2 ，長軸長為4，求出橢圓的幾何量，可得橢圓C的標準方程；（Ⅱ）直線AB、聯(lián)立橢圓方程，消去y，運用韋達定理，由OA⊥OB，則有x1x2+y1y2=0，化簡整理即可求m的值．