【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為的正方體中,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且滿足.

(1)求證:

(2)在棱上確定一點(diǎn),使、、、四點(diǎn)共面,并求此時(shí)的長(zhǎng);

(3)求平面與平面所成二面角的余弦值.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2);(3).

【解析】

試題本題有兩種方法,第一種是傳統(tǒng)方法:(1)連接,先由正方體的性質(zhì)得到,以及平面,從而得到,利用直線與平面垂直的判定定理可以得到平面,于是得到;(2)假設(shè)四點(diǎn)、、四點(diǎn)共面,利用平面與平面平行的性質(zhì)定理得到,,于是得到四邊形為平行四邊形,從而得到的長(zhǎng)度,再結(jié)合勾股定理得到的長(zhǎng)度,最終得到的長(zhǎng)度;(3)先延長(zhǎng)、交于點(diǎn),連接,找出由平面與平面所形成的二面角的棱,借助平面,從點(diǎn)在平面內(nèi)作,連接,利用三垂線法得到為平面與平面所形成的二面角的的平面角,然后在直角中計(jì)算的余弦值;

第二種方法是空間向量法:(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,確定的坐標(biāo),利用來(lái)證明,進(jìn)而證明

;(2)先利用平面與平面平行的性質(zhì)定理得到,然后利用空間向量共線求出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出的長(zhǎng)度;(3)先求出平面和平面的法向量,結(jié)合圖形得到由平面和平面所形成的二面角為銳角,最后再利用兩個(gè)平面的法向量的夾角來(lái)進(jìn)行計(jì)算.

試題解析:(1)如下圖所示,連接

由于為正方體,所以四邊形為正方形,所以,

平面,

平面,

平面,

(2)如下圖所示,假設(shè)、、、四點(diǎn)共面,則、、四點(diǎn)確定平面,

由于為正方體,所以平面平面,

平面平面,平面平面,

由平面與平面平行的判定定理得,

同理可得,因此四邊形為平行四邊形,

中,,,

由勾股定理得,

在直角梯形中,下底,直角腰,斜腰

由勾股定理可得,

結(jié)合圖形可知,解得;

(3)延長(zhǎng),設(shè),連接,則是平面與平面的交線,

過(guò)點(diǎn),垂足為點(diǎn),連接,

因?yàn)?/span>,,所以平面,

因?yàn)?/span>平面,所以,

所以為平面與平面所成二面角的平面角,

因?yàn)?/span>,即,因此

中,,

所以,

,

因?yàn)?/span>,

所以

所以,

所以,故平面與平面所成二面角的余弦值為.

空間向量法:

(1)證明:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為軸、軸、軸,建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、

所以,,因?yàn)?/span>,

所以,所以;

(2)設(shè),因?yàn)槠矫?/span>平面,

平面平面,平面平面,所以,

所以存在實(shí)數(shù),使得

因?yàn)?/span>,,所以

所以,,所以,

故當(dāng)時(shí),、、、四點(diǎn)共面;

(3)由(1)知,

設(shè)是平面的法向量,

,即,

,則,,所以是平面的一個(gè)法向量,

是平面的一個(gè)法向量,

設(shè)平面與平面所成的二面角為

,

故平面與平面所成二面角的余弦值為;

第(1)、(2)問(wèn)用推理論證法,第(3)問(wèn)用空間向量法,

(1)、(2)給分同推理論證法.

(3)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為軸、

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)

(1)關(guān)于的不等式對(duì)一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)解關(guān)于的不等式;

(3)函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某市為了緩解城市交通壓力,大力發(fā)展公共交通,提倡多坐公交少開(kāi)車,為了調(diào)查市民乘公交車的候車情況,交通主管部門從在某站臺(tái)等車的名候車乘客中隨機(jī)抽取人,按照他們的候車時(shí)間(單位:分鐘)作為樣本分成組,如下表所示:

組別

候車時(shí)間

人數(shù)

(1)估計(jì)這名乘客中候車時(shí)間少于分鐘的人數(shù);

(2)若從上表第四、五組的人中隨機(jī)抽取人做進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查,求抽到的人恰好來(lái)自不同組的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為2ρ2﹣ρ2cos2θ=12.若曲線C的左焦點(diǎn)F在直線l上,且直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn).
(1)求m的值并寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)求 的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】△ABC在內(nèi)角AB、C的對(duì)邊分別為ab,c,已知a=bcosC+csinB.

)求B

)若b=2,求△ABC面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了解某工廠兩車間工人掌握某技術(shù)情況,現(xiàn)從這兩車間工人中分別抽查名和名工人,經(jīng)測(cè)試,將這名工人的測(cè)試成績(jī)編成的莖葉圖。若成績(jī)?cè)?/span>以上(包括)定義為“良好,成績(jī)?cè)?/span>以下定義為“合格”。已知車間工人的成績(jī)的平均數(shù)為,車間工人的成績(jī)的中位數(shù)為.

(1)求,的值;

(2)求車間工人的成績(jī)的方差;

(3)在這名工人中,用分層抽樣的方法從 “良好”和“及格”中抽取,再?gòu)倪@人中選人,求至少有一人為“良好”的概率。

參考公式:方差

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,P為A1D1的中點(diǎn),Q為A1B1上任意一點(diǎn),E,F(xiàn)為CD上任意兩點(diǎn),且EF的長(zhǎng)為定值,則下面的四個(gè)值中不為定值的是(
A.點(diǎn)Q到平面PEF的距離
B.直線PE與平面QEF所成的角
C.三棱錐P﹣QEF的體積
D.二面角P﹣EF﹣Q的大小

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知定義[x]表示不超過(guò)的最大整數(shù),如[2]=2,[2,2]=2,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出S=(
A.1991
B.2000
C.2007
D.2008

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥BC,E是棱PC的中點(diǎn),∠DAB=90°,AB∥CD,AD=CD=2AB=2.
(Ⅰ)求證:PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)若二面角E﹣BD﹣P大于60°,求四棱錐P﹣ABCD體積的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案