設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=-2sin2x-2asinx-(2a+1)的最大值為f(a)
(1)求f(a)的表達(dá)式
(2)確定使f(a)=5的a的值,并對(duì)此時(shí)的a,求y的最小值.
分析:(1)由已知中函數(shù)y=-2sin2x-2asinx-(2a+1)的最大值為f(a),利用換元法我們令t=sinx,(-1≤t≤1),結(jié)合二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題的處理方法,即可得到f(a)的表達(dá)式.
(2)由(1)中f(a)的表達(dá)式,我們分別討論使f(a)=5的a的值,并根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行取舍,最后綜合討論結(jié)果即可得到f(a)=5的a的值,進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的y的最小值.
解答:解:(1)y=-2sin2x-2asinx-(2a+1)=-2(sinx+
a
2
2+
a2
2
-(2a+1)
令t=sinx,(-1≤t≤1)
當(dāng)-
a
2
<-1,即a>2時(shí),
f(a)=-3
當(dāng)-1≤-
a
2
≤1,即-2≤a≤2時(shí),
f(a)=
a2
2
-2a-1
當(dāng)-
a
2
>1,即a<-2時(shí)
f(a)=-4a-3
∴f(a)=
-3,a>2
a2
2
-2a-1,-2≤a≤2
-4a-3,a<-2

(2)當(dāng)a>2時(shí),f(a)=-3≠5
當(dāng)-2≤a≤2時(shí),f(a)=
a2
2
-2a-1=5
解得a=-2,或a=6(舍去)
當(dāng)a<-2時(shí),f(a)=-4a-3=5
則a=-2(舍去)
綜上所述a=-2
此時(shí),y=-2(t-1)2+5,(-1≤t≤1)
當(dāng)t=-1時(shí),y取最小值-3
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的最值,其中利用換元法,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題,是解答本題的關(guān)鍵.
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設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值為f(a),試確定滿足f(a)=
12
的a的值,并對(duì)此時(shí)的a值求y的最大值.

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設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值為f(a).
求:(1)寫(xiě)出f(a)的表達(dá)式;
(2)試確定能使f(a)=
12
的a的值,并求此時(shí)函數(shù)y的最大值.

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