Question

（文科）對(duì)于二項(xiàng)式（

1

x

+x3）ⁿ（n∈N^*），4位同學(xué)作出了4種判斷：①存在n∈N^*，使展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；②對(duì)任意n∈N^*，展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；③對(duì)任意n∈N^*，展開式中沒(méi)有x的一次項(xiàng)；④存在n∈N^*，使展開式中有x的一次項(xiàng)．上述判斷中正確的是

①④

．

Answer 1

分析：利用其項(xiàng)T_r+1=

C

r n

•x^4r-n對(duì)①②③④逐個(gè)分析，即可得到答案．

解答：解：設(shè)二項(xiàng)式（

1

x

+x3）ⁿ（n∈N^*）的通項(xiàng)為T_r+1，
則T_r+1=

C

r n

•x^r-n•x^3r=

C

r n

•x^4r-n．
顯然存在1∈N^*，使展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；故①正確；
不妨令n=4，r=1，展開式中有常數(shù)項(xiàng)，故②錯(cuò)誤；
再令n=3，r=1，則T₂=

C

1 3

x=3x，故③錯(cuò)誤，而④正確．
綜上所述，判斷中正確的是①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理，關(guān)鍵在于合理利用其通項(xiàng)公式進(jìn)行綜合分析，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．