Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若對任意，恒成立，求的值；

（2）設(shè)，若沒有零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)得 ，通過單調(diào)性可知當時，函數(shù)取得極大值；若對任意，在上恒成立，

當且僅當，，即恒成立，得即，構(gòu)造函數(shù)，通過單調(diào)性求的值.

（2），求導(dǎo)得

構(gòu)造函數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點，通過單調(diào)性求得的取值范圍.

解：（1），

當時，，在上是增函數(shù)；

當時，在上是減函數(shù)；

故當時，函數(shù)取得極大值.

若對任意，在上恒成立，

當且僅當，，即恒成立，

得即.

設(shè)，則.

當時，是增函數(shù)；

當時，是減函數(shù)，

所以當時，取得極大值，得.

所以，可得.

（2），所以

，

設(shè)，則在上是增函數(shù)，

又，

所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點，

即.

當時，，即；

當時，，即，所以在上是減函數(shù)，

在上是增函數(shù)，所以.

因為沒有零點，所以，

即，所以的取值范圍是.