如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=．
（Ⅰ）求點A1到平面AB1C1的距離；
（Ⅱ）求二面角B-AB1-C1的余弦值．

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)點A1到平面AB1C1的距離為h，利用等體積可求；
（Ⅱ）分別以CB，CC1，CA為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，分別求平面BAB1、AB1C1一個法向量，再利用公式求二面角B-AB1-C1的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)點A1到平面AB1C1的距離為h，則由題意，
AC1=3．B1C1=1，B1C1⊥AC1
∴
∴
（Ⅱ）分別以CB，CC1，CA為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則
設(shè)平面BAB1的一個法向量為，則，∴，∴
同理可得平面AB1C1的一個法向量
設(shè)二面角B-AB1-C1的大小為α，則
∴二面角B-AB1-C1的余弦值為
點評：本題以直三棱柱為載體，考查點面距離，考查面面角，關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標系，用坐標表示向量，進而利用公式求解．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=AC=BC=2，D、E、F分別是AB、AA1、CC1的中點，P是CD上的點．
（1）求直線PE與平面ABC所成角的正切值的最大值；
（2）求證：直線PE∥平面A1BF；
（3）求直線PE與平面A1BF的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=BB′=1，直線B′C與平面ABC成30°角．
（1）求證：A′B⊥面AB′C；
（2）求二面角B-B′C-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF=
a或2a
a或2a
時，CF⊥平面B1DF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點．
（Ⅰ）求證：B1C1⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）設(shè)E是CC1的中點，試求出A1E與平面A1BD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1=BC，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點．
（1）求證：B1C∥平面A1BD；
（2）求證：B1C1⊥平面ABB1A1；
（3）在CC1上是否存在一點E，使得∠BA1E=45°，若存在，試確定E的位置，并判斷平面A1BD與平面BDE是否垂直？若不存在，請說明理由．

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