Question

在直角坐標(biāo)平面上，O為原點(diǎn)，M為動點(diǎn)，，．過點(diǎn)M作MM₁⊥軸于M₁，過N作NN₁⊥軸于點(diǎn)N₁，．記點(diǎn)T的軌跡為曲線C，點(diǎn)A（5，0）、B（1，0），過點(diǎn)A作直線交曲線C于兩個不同的點(diǎn)P、Q（點(diǎn)Q在A與P之間）．

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）證明不存在直線，使得；

（Ⅲ）過點(diǎn)P作軸的平行線與曲線C的另一交點(diǎn)為S，若，證明．

Answer 1

（Ⅰ）曲線C的方程：  （2）同解析  （3）同解析 

解析:

（1）解：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則M₁的坐標(biāo)為

  ∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為       

∴N₁的坐標(biāo)為      ∴   

由有   

∴      由此得                          

由有

∴      即，即為所求的方程．曲線C為橢圓．  

（2）證：點(diǎn)A（5，0）在曲線C即橢圓的外部，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線與橢圓C無交點(diǎn)，所以直線斜率存在，并設(shè)為．直線的方程為．     

由方程組     得     

依題意，得．             

當(dāng)時，設(shè)交點(diǎn)，PQ的中點(diǎn)為R，則

，        

∴                      

又BR⊥

       

但不可能成立，所以不存在直線使得．  

（3）證明：由題有S，．

則有方程組                          

由（1）得：

將（2）、（5）代入（3）有

整理并將（4）、（5）代入得  

易知，解得                                        

因，故，，

∴

∴．