Question

【題目】如圖是在豎直平面內(nèi)的一個“通道游戲”．圖中豎直線段和斜線段都表示通道，并且在交點處相遇，若豎直線段有第一條的為第一層，有二條的為第二層，…，依此類推．現(xiàn)有一顆小彈子從第一層的通道里向下運(yùn)動．若在通道的分叉處，小彈子以相同的概率落入每個通道，記小彈子落入第n層第m個豎直通道（從左至右）的概率為P（n，m）．某研究性學(xué)習(xí)小組經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)小彈子落入第n層的第m個通道的次數(shù)服從二項分布，請你解決下列問題．

（1）求P（2，1），P（3，2）及P（4，2）的值，并猜想P（n，m）的表達(dá)式．（不必證明）
（2）設(shè)小彈子落入第6層第m個豎直通道得到分?jǐn)?shù)為ξ，其中ξ= ，試求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)已知小球每次遇到正方形障礙物上頂點時，向左、右兩邊下落的概率都是 ，小球遇到第n行第m個障礙物（從左至右）上頂點的概率為P（n，m），可得

P（2，1）= ，P（3，2）= = ，P（4，2）= =

猜想P（n，m）= ；

（2）解：ξ的可能取值為3，2，1，

P（ξ=3）=P（6，1）+P（6，6）= ，

P（ξ=2）=P（6，2）+P（6，5）= = ，

P（ξ=1）=P（6，3）+P（6，4）=

分布列為：

ξ	3	2	1
P

Eξ=3× +2× +1× = ．

【解析】（1）根據(jù)小彈子以相同的概率落入每個通道，在每一個分叉處小球落入那一個通道的概率是相同的，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗的概率公式得到結(jié)果，推出具有一般性的結(jié)論．（2）根據(jù)題意知變量ξ的可能取值是3，2，1，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和前一問做出的概率公式，寫出變量對應(yīng)的概率和分布列，求出期望值．
【考點精析】利用離散型隨機(jī)變量及其分布列對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列．