Question

設(shè)關(guān)于x的方程x²-mx-1=0有兩個實根α、β，且α＜β．定義函數(shù)f(x)=

2x-m

x2+1

.
（Ⅰ）求αf（α）+βf（β）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）在區(qū)間（α，β）上的單調(diào)性，并加以證明；
（Ⅲ）若λ，μ為正實數(shù)，證明不等式：|f(

λα+μβ

λ+μ

)-f(

μα+λβ

λ+μ

)| ＜ |α-β|.

Answer 1

分析：（1）因為α，β是方程x²-mx-1=0的兩個實根，則利用根與系數(shù)的關(guān)系即f（x）的解析式求出f（α）和f（β）即可求出αf（α）+βf（β）的值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)并利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)推導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)大于零則該函數(shù)為增函數(shù)；（3）此題要證不等式成立，先求出

λα+μβ

λ+μ

和

μα+λβ

λ+μ

的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的增減性判斷出其函數(shù)值的取值范圍把兩個函數(shù)值相減的左邊不等式在根據(jù)（1）中的結(jié)論推出得證．

解答：解：（Ⅰ）α，β是方程x²-mx-1=0的兩個實根
∴

α+β=m α•β=-1

∴f(α)=

2α-m

α2+1

=

2α-(α+β)

α2-αβ

=

α-β

α(α-β)

=

1

α

同理f(β)=

1

β

∴αf（α）+βf（β）=2
（Ⅱ）∵f(x)=

2x-m

x2+1

∴f′(x)=

2(x2+1)-(2x-m)•2x

(x2+1)2

=-

2(x2-mx-1)

(x2+1)2

當(dāng)x∈（α，β）時，x²-mx-1=（x-α）（x-β）＜0
而f'（x）＞0
∴f（x）在（α，β）上為增函數(shù)
（Ⅲ）∵λ，μ∈R₊且α＜β
∴

λα+μβ

λ+μ

-α=

λα+μβ-(λ+μ)α

λ+μ

=

μ(β-α)

λ+μ

＞0

λα+μβ

λ+μ

-β=

λα+μβ-(λ+μ)β

λ+μ

=

λ(α-β)

λ+μ

＜0
∴α＜

λα+μβ

λ+μ

＜β
由（Ⅱ）可知f(α)＜f(

λα+μβ

λ+μ

)＜f(β)
同理可得f(α)＜f(

μα+λβ

λ+μ

)＜f(β)
∴f(α)-f(β)＜f(

λα+μβ

λ+μ

)-f(

μα+λβ

λ+μ

)＜f(β)-f(α)
∴|f(

λα+μβ

λ+μ

)-f(

μα+λβ

λ+μ

)|＜|f(α)-f(β)|
又由（Ⅰ）知f(α)=

1

α

，f(β)=

1

β

，αβ=-1
∴|f(α)-f(β)|=|

1

α

-

1

β

|=|

β-α

αβ

|=|α-β|
所以|f(

λα+μβ

λ+μ

)-f(

μα+λβ

λ+μ

)| ＜ |α-β|.

點評：考查學(xué)生函數(shù)與方程的綜合運用能力．