Question

【題目】如圖，梯形ABCD所在的平面與等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4.

(1)求證：DF∥平面BCE；

(2)求二面角C—BF—A的正弦值；

(3)線段CE上是否存在點(diǎn)G，使得AG⊥平面BCF？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

(1)由CD∥EF, CD=EF，得到四邊形CDFE為平行四邊形，從而DF∥CE，由線面平行的判定定理得證DF∥平面BCE；(2)在平面ABEF內(nèi)，過(guò)A作AZ⊥AB，以A為原點(diǎn)，AD、AB、AZ所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)的坐標(biāo)，求出平面BCF的一個(gè)法向量n和平面ABF的一個(gè)法向量v的坐標(biāo)，利用夾角公式求出二面角C—BF—A的余弦值，進(jìn)而用同角三角函數(shù)關(guān)系求出正弦值；(3)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G，設(shè)＝λ，求出G點(diǎn)坐標(biāo)，從而得的坐標(biāo)，由∥n構(gòu)造方程組，方程組無(wú)解，從而判斷滿足條件的點(diǎn)G不存在．

(1)證明：因?yàn)镃D∥EF，且CD＝EF，所以四邊形CDFE為平行四邊形，所以DF∥CE，因?yàn)镈F平面BCE，

所以DF∥平面BCE.

(2)在平面ABEF內(nèi)，過(guò)A作AZ⊥AB，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又AZ平面ABEF，AZ⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，

所以AD⊥AB，AD⊥AZ，AZ⊥AB，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz.

由題意得，A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(2,2,0)，E(0,3，)，F(0,1，)．

所以＝(2，－2,0)，＝(0，－3，)．

設(shè)平面BCF的法向量為n＝(x，y，z)，則即

令y＝1，則x＝1，z＝，所以n＝(1,1，)．

平面ABF的一個(gè)法向量為v＝(1,0,0)，

則cos〈n，v〉＝＝，sin〈n，v〉＝.

所以二面角C—BF—A的正弦值為.

(3)線段CE上不存在點(diǎn)G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：

假設(shè)線段CE上存在點(diǎn)G，使得AG⊥平面BCF，設(shè)＝λ，其中λ∈[0,1]．

設(shè)G(x2，y2，z2)，則有(x2－2，y2－2，z2)＝(－2λ，λ，λ)，

所以x2＝2－2λ，y2＝2＋λ，z2＝λ，從而G(2－2λ，2＋λ，λ)，

所以＝(2－2λ，2＋λ，λ)．

因?yàn)锳G⊥平面BCF，所以∥n.

所以有＝＝，

因?yàn)樯鲜龇匠虩o(wú)解，所以假設(shè)不成立．

所以線段CE上不存在點(diǎn)G，使得AG⊥平面BCF.