【題目】己知函數(shù) (其中e為自然對數(shù)的底數(shù)), .
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)設(shè),.已知直線是曲線的切線,且函數(shù)上是增函數(shù).
(i)求實(shí)數(shù)的值;
(ii)求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
【答案】(I)見解析;(II)(1);(2).
【解析】試題分析:(I)求導(dǎo)得,討論和即可;
(II) (i)由相切得,解方程即可;(ii)先構(gòu)造來討論和的大小,得,求導(dǎo),得. 由函數(shù)在上是增函數(shù),且曲線在上連續(xù)不斷知: 在, 上恒成立,分兩段討論即可.
試題解析:
(Ⅰ)∵,
∴,
①當(dāng)時(shí),
在時(shí), ,在時(shí), ,
故在上是減函數(shù),在上是增函數(shù);
②當(dāng)時(shí),
在時(shí), ,在時(shí), ,
故在上是增函數(shù),在上是減函數(shù);
(Ⅱ)(1)對求導(dǎo),得,
設(shè)直線與曲線切于點(diǎn),則
解得,∴;
(2)記函數(shù) , ,
求導(dǎo),得,
當(dāng)時(shí), 恒成立,
當(dāng)時(shí), ,
∴ ,
∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減.
又, ,
曲線在[1,2]上連續(xù)不間斷,
∴由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知,唯一的∈(1,2),使.
∴當(dāng)時(shí), >0,當(dāng)時(shí), <0.
∴當(dāng)時(shí), =
求導(dǎo),得
由函數(shù)在上是增函數(shù),且曲線在上連續(xù)不斷知:
在, 上恒成立.
①當(dāng)時(shí), ≥0在上恒成立,
即在上恒成立,
記, ,則, ,
當(dāng) 變化時(shí), , 變化情況列表如下:
3 | |||
0 | |||
極小值 |
∴min= 極小值= ,
故“在上恒成立”,只需 ,即.
②當(dāng)時(shí), ,
當(dāng)時(shí), 在上恒成立,
綜合①②知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是增函數(shù).
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個(gè)銷售季度內(nèi),每售出噸該商品可獲利潤萬元,未售出的商品,每噸虧損萬元.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗(yàn),得到一個(gè)銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖如右圖所示.已知電商為下一個(gè)銷售季度籌備了噸該商品.現(xiàn)以(單位:噸, )表示下一個(gè)銷售季度的市場需求量, (單位:萬元)表示該電商下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤.
(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)一個(gè)銷售季度內(nèi)市場需求量的平均數(shù)與中位數(shù)的大小;
(Ⅱ)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤不少于57萬元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱錐P -ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA90°,APAC,點(diǎn)D,E分別在棱PB,PC上,且BC∥平面ADE.
(Ⅰ)求證:DE⊥平面PAC;
(Ⅱ)若PC⊥AD,且三棱錐P-ABC的體積為8,求多面體ABCED的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知函數(shù), .
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)設(shè),已知函數(shù)在上是增函數(shù).
(1)研究函數(shù)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(ii)求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y= 的定義域?yàn)椋?/span> )
A.{x|x≥1}
B.{x|x≥1或x=0}
C.{x|x≥0}
D.{x|x=0}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知tanα, 是關(guān)于x的方程x2﹣kx+k2﹣3=0的兩實(shí)根,且3π<α< π,求cos(3π+α)﹣sin(π+α)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分) 某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過):
空氣質(zhì)量指數(shù) | ||||||
空氣質(zhì)量等級 | 級優(yōu) | 級良 | 級輕度污染 | 級中度污染 | 級重度污染 | 級嚴(yán)重污染 |
該社團(tuán)將該校區(qū)在年天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如下圖,把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率.
(Ⅰ)請估算年(以天計(jì)算)全年空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計(jì)算);
(Ⅱ)該校年月、日將作為高考考場,若這兩天中某天出現(xiàn)級重度污染,需要凈化空氣費(fèi)用元,出現(xiàn)級嚴(yán)重污染,需要凈化空氣費(fèi)用元,記這兩天凈化空氣總費(fèi)用為元,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】如圖,某幾何體的三視圖中,俯視圖是邊長為2的正三角形,正視圖和左視圖分別為直角梯形和直角三角形,則該幾何體的體積為( )
A. B. C. D.
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