已知橢圓C1的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，離心率為e=
3
2
，點P為橢圓上一動點，點F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，且△PF1F2面積的最大值為
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)橢圓短軸的上端點為A，點M為動點，且
1
5
|
F2A
|2，
1
2
F2M
•
AM
，
AF1
•
OM
成等差數(shù)列，求動點M的軌跡C2的方程．
分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，利用離心率和a，b與c的關(guān)系求得a和b的關(guān)系，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)知，當(dāng)點P為橢圓的短軸端點時，△PF1F2的面積最大，進而求得bc的關(guān)系，最后聯(lián)立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）根據(jù)（1）中的方程求得A和兩焦點坐標(biāo)，設(shè)出M的坐標(biāo)，利用
F2A
，
F2M
，
AM
，
AF1
根據(jù)已知條件求得x和y的關(guān)系，點M的軌跡方程可得．
解答：解：（1）設(shè)橢圓C1的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），c=
a2-b2
，則
c
a
=
3
2
，所以a=2b、
由橢圓的幾何性質(zhì)知，當(dāng)點P為橢圓的短軸端點時，
△PF1F2的面積最大，故
1
2
|F1F2|b=bc=
3
，
解得a=2，b=1．
故所求橢圓方程為
x2
4
+y2=1．
（2）由（1）知A（0，1），F(xiàn)1（-
3
，0），F(xiàn)2（
3
，0），
設(shè)M（x，y），則
F2A
=（-
3
，1），
F2M
=（x-
3
，y），
AM
=（x，y-1），
AF1
=（-
3
，-1）．
由已知條件得x（x-
3
）+y（y-1）=
4
5
-
3
x-y，整理，得M的軌跡C2的方程為x2+y2=
4
5
．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了基礎(chǔ)知識的整體把握和綜合運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1的中心在坐標(biāo)原點，兩個焦點分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），點A（2，3）在橢圓C1上，求橢圓C1的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1的中心在原點，離心率為
4
5
，焦點在x軸上且長軸長為10．過雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)右焦點F2作垂直于x軸的直線交雙曲線C2于M、N兩點．
（I）求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若雙曲線C2與橢圓C1有公共的焦點，且以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的左頂點A，求雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（III）若以MN為直徑的圓與雙曲線C2的左支有交點，求雙曲線C2的離心率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1的中心在原點，焦點在y軸上，離心率為
5
3
，且經(jīng)過點M(
3
，
3
2
)．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）已知橢圓C2的長軸和短軸都分別是橢圓C1的長軸和短軸的m倍（m＞1），中心在原點，焦點在y軸上．過點C（-1，0）的直線l與橢圓C2交于A、B兩個不同的點，若
AC
=2
CB
，求△OAB的面積取得最大值時的直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•濟寧一模）已知橢圓C1的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，離心率為e=
3
2
，P為橢圓上一動點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點，且△PF1F2面積的最大值為
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)橢圓短軸的上端點為A、M為動點，且
1
5
|
F2A
|2，
1
2
F2M
•
AM
，
AF1
•
OM
成等差數(shù)列，求動點M的軌跡C2的方程；
（3）過點M作C2的切線l交于C1與Q、R兩點，求證：
OQ
•
OR
=0．

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