Question

在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D為線段BC的中點，E、F為線段AC的三等分點(如圖①)．將△ABD沿著AD折起到△AB′D的位置，連結(jié)B′C(如圖②)．

圖①

圖②

(1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱錐B′-ADC的體積；

(2)記線段B′C的中點為H，平面B′ED與平面HFD的交線為l，求證：HF∥l；

(3)求證：AD⊥B′E.

 

Answer 1

（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】(1)解：在直角△ABC中，D為BC的中點，所以AD＝BD＝CD.又∠B＝60°，所以△ABD是等邊三角形．取AD中點O，連結(jié)B′O，所以B′O⊥AD.因為平面AB′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O?平面AB′D，所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D為BC的中點，所以AC＝，B′O＝.所以S△ADC＝××1×＝.所以三棱錐B′ADC的體積為V＝×S△ADC×B′O＝.

(2)證明：因為H為B′C的中點，F為CE的中點，所以HF∥B′E.又HF?平面B′ED，B′E?平面B′ED，所以HF∥平面B′ED.因為HF平面HFD，平面B′ED∩平面HFD＝l，所以HF∥l.

(3)證明：連結(jié)EO，由(1)知，B′O⊥AD.

因為AE＝，AO＝，∠DAC＝30°，

所以EO＝.

所以AO2＋EO2＝AE2.所以AD⊥EO.

又B′O平面B′EO，EO平面B′EO，B′O∩EO＝O，

所以AD⊥平面B′EO.

又B′E平面B′EO，所以AD⊥B′E.