Question

8．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①已知直線l₁：ax+y+1=0，l₂：x+ay+a²=0，則l₁∥l₂的充要條件為a=±1；
②函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx滿足f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x），則函數(shù)f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心為（$\frac{π}{6}$，0）；
③已知平面α和兩條不同的直線a，b，滿足b?α，a∥b，則a∥α；
④函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$+lnx的單調(diào)區(qū)間為（0，1）∪（1，+∞）．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 0

Answer 1

分析 根據(jù)直線平行判斷①，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷②，根據(jù)線面平行判斷③，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用判斷④．

解答 解：對(duì)于①，由l₁∥l₂，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1=0}\\{{a}^{2}-a≠0}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，①錯(cuò)；
對(duì)于②，由f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x），得：f（x+π）=f（x），
∴f（x）的周期是π，ω=2，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
故x=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）=2，②錯(cuò)；
對(duì)于③，a?α?xí)r，結(jié)論不成立，③錯(cuò)；
對(duì)于④，f（x）=$\frac{1}{x}$+lnx，f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，由f′（x）＞0，得：x＞1，
由f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，④錯(cuò)；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了充分必要條件，考查三角函數(shù)，直線的平行的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．