【題目】如圖,正方形與梯形所在的平面互相垂直,,,,,的中點(diǎn).

(1)求證:平面;

(2)求證:平面平面;

(3)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;(2)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;(3.

【解析】

試題本題主要考查中位線(xiàn)、平行四邊形的證明、線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直、面面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問(wèn),作出輔助線(xiàn)MN,N中點(diǎn),在中,利用中位線(xiàn)得到,且,結(jié)合已知條件,可證出四邊形ABMN為平行四邊形,所以,利用線(xiàn)面平行的判定,得平面;第二問(wèn),利用面面垂直的性質(zhì),判斷,再利用已知的邊長(zhǎng),可證出,則利用線(xiàn)面垂直的判定得平面BDE,再利用面面垂直的判定得平面平面;第三問(wèn),可以利用傳統(tǒng)幾何法證明二面角的平面角,也可以利用向量法建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面BEC和平面ADEF的法向量,利用夾角公式計(jì)算即可.

1)證明:取中點(diǎn),連結(jié)

中,

分別為的中點(diǎn),所以,且

.由已知,所以

,且.所以四邊形為平行四邊形,

所以

又因?yàn)?/span>平面,且平面

所以平面

2)證明:在正方形中,.又因?yàn)?/span>

平面平面,且平面平面

所以平面.所以

在直角梯形中,,可得

中,,所以

所以平面

又因?yàn)?/span>平面,所以平面平面

3)(方法一)延長(zhǎng)交于

在平面內(nèi)過(guò),連結(jié).由平面平面,

,平面平面=

,于是

,平面,所以,

于是就是平面與平面所成銳二面角的

平面角.

,得.

,于是有.

中,.

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為

(方法二)由(2)知平面,且

為原點(diǎn),所在直線(xiàn)分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

易得.平面的一個(gè)法向量為.設(shè)為平面的一個(gè)法向量,因?yàn)?/span>,所以,令,得

所以為平面的一個(gè)法向量.

設(shè)平面與平面所成銳二面角為

.所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望;

2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.

(。┰囌f(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性;

(ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

經(jīng)計(jì)算得,,其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,.

用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查?剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μσ(精確到0.01.

附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布,則,,.

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1)求曲線(xiàn)C的方程;

2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交曲線(xiàn)CA,B兩點(diǎn),若曲線(xiàn)C上存在點(diǎn)P使得,求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍.

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2)當(dāng),且時(shí),

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ii)若對(duì)任意的,都有成立,求正實(shí)數(shù)的最大值.

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