Question

已知兩點(diǎn)M（-3，0），N（3，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)一動點(diǎn)，且|

MN

|•|

MP

|+

MN

•

NP

=0，則動點(diǎn)P（x，y）到兩點(diǎn)A（-3，0）、B（-2，3）的距離之和的最小值為（　�。�

• A．4
• B．5
• C．6
• D．

  10

Answer 1

分析：首先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算求出拋物線的方程，然后根據(jù)拋物線的定義再將動點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（-3，0）的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，如圖．再由拋物線的性質(zhì)知：當(dāng)B，C和P三點(diǎn)共線的時(shí)候距離之和最小，從而得到答案．

解答：解：設(shè)P（x，y），因?yàn)镸（-3，0），N（3，0），
所以|

MN

|=6，

MP

=(x+3，y)，

NP

=(x-3，y)，

MN

=（6，0），
由|

MN

|•|

MP

|+

MN

•

NP

=0，則6

(x+3)2+y2

+6(x-3)=0，
化簡整理得y²=-12x，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），
所以點(diǎn)A是拋物線y²=-12x的焦點(diǎn)，
過P作準(zhǔn)線x=3的垂線，垂足為C，
則動點(diǎn)P（x，y）到兩點(diǎn)A（-3，0）、B（-2，3）的距離之和等于動點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)B（-2，3）和到直線x=3的距離之和，
依題意可知當(dāng)B，C和P三點(diǎn)共線的時(shí)候，距離之和最小，如圖，
最小值為：3-（-2）=5．
故選B．

點(diǎn)評：本題在向量與圓錐曲線交匯處命題，考查了向量的數(shù)量積、曲線方程的求法、拋物線的定義以及等價(jià)轉(zhuǎn)化能力．