Question

求證:如果一條直線和兩個(gè)相交的平面都平行,那么這條直線和它們的交線平行.

已知:如圖,α∩β=l,a∥α,a∥β.

求證:a∥l.

Answer 1

解析:證明本題可以利用線面平行的性質(zhì)定理,可用同一法.

證法一:過(guò)a作平面γ交平面α于b,

∵a∥α,∴a∥b.同樣,過(guò)a作平面ξ交平面β于C.

∵a∥β,∴a∥C.∴b∥C.

    又∵bβ且Cβ,∴b∥β.

    又平面α經(jīng)過(guò)b交β于l.

∴b∥l,且a∥b.∴a∥l.

證法二:在l上任取一點(diǎn)A,過(guò)A和a作平面和α相交于l₁,和β相交于l₂.

∵a∥α,∴a∥l₁.

∵a∥β,∴a∥l₂.

    但過(guò)一點(diǎn)只能作一條直線與另一條直線平行,

∴l(xiāng)₁與l₂重合.

    又∵l₁α,l₂β,

∴l(xiāng)₁和l₂重合于l.

∴a∥l.

點(diǎn)評(píng):(1)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí),應(yīng)著力尋找過(guò)已知直線的平面與已知平面的交線,有時(shí)為了得到交線還需作出輔助平面.

(2)證法二用到了結(jié)論“過(guò)空間直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行”，且本證法是“同一法”.