【題目】已知函數(shù),().
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:當(dāng)時(shí),對于任意,總有成立.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)詳見解析.
【解析】試題分析:(I)首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對字母a進(jìn)行分類討論,根據(jù),可知函數(shù)單調(diào)遞增,時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減可得答案.(Ⅱ)要證當(dāng)a>0時(shí),對于任意,總有成立,即要證明對于任意,總有.根據(jù)(Ⅰ)可知,當(dāng)時(shí),f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,f(x)在(1,e]上單調(diào)遞減,從而有,再利用導(dǎo)數(shù)可得,當(dāng)時(shí),g(x)在(0,a)上單調(diào)遞增,g(x)在(a,e]上單調(diào)遞減,所以,再用作差法即可證明.
試題解析解:(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,.
當(dāng)時(shí),當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下表:
0 | 0 | ||||
↘ | ↗ | ↘ |
當(dāng)時(shí),當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下表:
0 | 0 | ||||
↗ | ↘ | ↗ |
綜上所述,
當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,;
當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為. 5分 (2)由(1)可知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,;在上單調(diào)遞減,且. 所以時(shí), .因?yàn)?/span>,所以,
令,得時(shí),由,得;由,得,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以.
因,對任意,總有. 10分
②當(dāng)時(shí),在上恒成立,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,.
所以對于任意,仍有.
綜上所述,對于任意,總有. 14分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù),則下列說法不正確的是( )
A.其圖象開口向上,且始終與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
B.無論取何實(shí)數(shù),其圖象始終過定點(diǎn)
C.其圖象對稱軸的位置沒有確定,但其形狀不會因的取值不同而改變
D.函數(shù)的最小值大于
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一元二次函數(shù)的最大值為,其圖象的對稱軸為,且與軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為.
(1)求該一元二次函數(shù);
(2)要將該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)平移到原點(diǎn),請說出平移的方式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,然后寫出對應(yīng)的否定命題,并判斷真假:
(1)不論取何實(shí)數(shù),關(guān)于的方程必有實(shí)數(shù)根;
(2)所有末位數(shù)字是0或5的整數(shù)都能被5整除;
(3)某些梯形的對角線互相平分;
(4)函數(shù)圖象恒過原點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面, , , , 分別為線段上的點(diǎn),且, , .
(1)求證: 平面;
(2)若與平面所成的角為,求平面與平面所成的銳二面角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中, 已知圓 ,橢圓 ,為橢圓右頂點(diǎn).過原點(diǎn)且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn),直線與圓的另一交點(diǎn)為,直線與圓的另一交點(diǎn)為,其中.設(shè)直線的斜率分別為.
(1)求的值;
(2)記直線的斜率分別為,是否存在常數(shù),使得?若存在,求值;若不存在,說明理由;
(3)求證:直線必過點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,與軸正半軸交于點(diǎn),若為等腰直角三角形,且直線被圓所截得的弦長為2.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線:與橢圓交于點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,射線與橢圓交于點(diǎn),點(diǎn)為的重心,求證:的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的四項(xiàng)參賽作品,只評一項(xiàng)一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測如下:
甲說:“或作品獲得一等獎”; 乙說:“作品獲得一等獎”;
丙說:“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎”; 丁說:“作品獲得一等獎”.
若這四位同學(xué)只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是( )
A. 作品 B. 作品 C. 作品 D. 作品
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