Question

已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓E過點(diǎn)（0，1），離心率為．
（I）求橢圓E的方程；
（II）若直線l過橢圓E的左焦點(diǎn)F，且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，直線BC與x軸交于點(diǎn)M，當(dāng)△MAF的面積為，求△MAC的內(nèi)切圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)橢圓E的方程為：，（a＞b＞0），由橢圓E過點(diǎn)（0，1），離心率為，知，由此能求出橢圓E的方程．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，知C（x₁，-y₁），設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），由，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，由此入手能求出△MAC的內(nèi)切圓方程．
解答：解：（I）設(shè)橢圓E的方程為：，（a＞b＞0）
∵橢圓E過點(diǎn)（0，1），離心率為，
∴，解得a²=2，b²=1，
∴橢圓E的方程為：．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴C（x₁，-y₁），
設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），
由，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴，，
由直線BC的方程為：y-y₂=，
得y=，
令y=0，得x===-2．
∴M（-2，0）．
∵，
得y₁=±1，
∴A（0，1），C（0，-1），或A（0，-1），C（0，1）．
由MF為∠CMA的平分線，設(shè)內(nèi)切圓的圓心P（t，0），（-2＜t＜0）
圓P的方程為（x-t）²+y²=t²，與直線MA，AC相切，
由，得t=，
∴△MAC的內(nèi)切圓方程為（x-）²+y²=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形內(nèi)切圓的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．