【題目】已知函數(shù),其中, 是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當時,求曲線處的切線方程;

2求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;

3)若恒成立,求的取值范圍.

【答案】(1)(2)當時, 無單調(diào)減區(qū)間;當時, 的單調(diào)減區(qū)間是;當時, 的單調(diào)減區(qū)間是.(3)

【解析】試題分析:(1)先對函數(shù)解析式進行求導,再借助導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,運用點斜式求出切線方程;(2)先對函數(shù)的解析式進行求導,然后借助導函數(shù)的值的符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關系進行分類分析探求;(3)先不等式進行等價轉(zhuǎn)化,然后運用導數(shù)知識及分類整合的數(shù)學思想探求函數(shù)的極值與最值,進而分析推證不等式的成立求出參數(shù)的取值范圍。

解:(1)因為,所以.

因為,所以.

所以切線方程為.

(2) 因為,

, ,所以無單調(diào)減區(qū)間.

,列表如下:

所以的單調(diào)減區(qū)間是.

, ,列表如下:

所以的單調(diào)減區(qū)間是.

綜上,當, 無單調(diào)減區(qū)間;

, 的單調(diào)減區(qū)間是;

, 的單調(diào)減區(qū)間是.

(3) .

,由(2)可得, 上單調(diào)增函數(shù),

所以在區(qū)間上的最大值,符合題意.

,由(2)可得,要使在區(qū)間上恒成立,

只需, ,解得.

時,可得, .

,則,列表如下:

所以,可得恒成立,所以.

時,可得,無解.

綜上, 的取值范圍是.

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天氣

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