設P
1,P
2,P
3,…,P
n,…是曲線y=
上的點列,Q
1,Q
2,Q
3,…,Q
n,…是x軸正半軸上的點列,且△OQ
1P
1,△Q
1Q
2P
2,…,△Q
n-1Q
nP
n,…都是正三角形,設它們的邊長為a
1,a
2,…,a
n,…,求證:a
1+a
2+…+a
n=
n(n+1).(13分)
證明:(1)當n=1時,點P
1是直線y=
x與曲線y=
的交點,
∴可求出P
1(
,
).
∴a
1=|OP
1|=
.而
×1×2=
,命題成立.(6分)
(2)假設n=k(k∈N*)時命題成立,即a
1+a
2+…+a
k=
k(k+1),則點Q
k的坐標為(
k(k+1),0),
∴直線Q
kP
k+1的方程為y=
[x-
k(k+1)].代入y=
,解得P
k+1點的坐標為
∴a
k+1=|Q
kP
k+1|=
(k+1)·
=
(k+1).
∴a
1+a
2+…+a
k+a
k+1=
k(k+1)+
(k+1)=
(k+1)(k+2).
∴當n=k+1時,命題成立.
由(1)(2)可知,命題對所有正整數(shù)都成立.(13分)
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知
為拋物線
上不同兩點,且直線
傾斜角為銳角,
為拋物線焦點,若
則直線
斜率為
.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知A、B是拋物線
上的兩點,O是拋物線的頂點,OA⊥OB.
(I)求證:直線AB過定點M(4,0);
(II)設弦AB的中點為P,求點P到直線
的距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
長度為
的線段AB的兩個端點A、B都在拋物線
上滑動,則線段AB的中點M到
軸的最短距離是
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
若拋物線
的焦點與橢圓
的左焦點重合,則
的值為( )
A.- | B. | C.-2 | D.2 |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
拋物線
的準線方程是
,則
的值為( )
A. | B. | C.4 | D.-4 |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
過拋物線
內一點A(1,1)作弦BC,若A為BC的中點,則直線BC的方程為
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知過拋物線
C:
(
)焦點
F的直線
l和
y軸正半軸交于點
A,并且
l與
C在第一象限內的交點
M恰好為
A、
F的中點,則直線的斜率
_____________。
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