Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式(1+

1

3

)(1+

1

5

)…(1+

1

2n-1

)＞

2n+1

2

成立．

Answer 1

分析：當(dāng)n=2時(shí)，代入不等式左右端，驗(yàn)算可得證．再證明從k到k+1時(shí)，構(gòu)造4k²+8k+4＞4k²+8k+3，向要證明的代數(shù)式轉(zhuǎn)化即可證明n=k時(shí)也成立，從而結(jié)論得證．

解答：證明：①當(dāng)n=2時(shí)，左端=1+

1

3

=

4

3

，右端=

5

2

，又知

16

9

＞

5

4

，∴左端＞右端，即當(dāng)n=2時(shí)有原不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有原不等式成立，即(1+

1

3

)(1+

1

5

)…(1+

1

2k-1

)＞

2k+1

2

成立，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，有(1+

1

3

)(1+

1

5

)…(1+

1

2k-1

)(1+

1

2k+1

 )＞

2k+1

2

(1+

1

2k+1

)=

k+1

2k+1

又4k²+8k+4＞4k²+8k+3，∴4(k+1)2＞

2k+1

•

2k+3

即

k+1

2k+1

＞

2k+3

2

，即(1+

1

3

)(1+

1

5

)…(1+

1

2n-1

)＞

2n+1

2

對(duì)n=k時(shí)成立，
綜上，由①②知，對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式(1+

1

3

)(1+

1

5

)…(1+

1

2n-1

)＞

2n+1

2

成立．

點(diǎn)評(píng)：此題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)鍵在于注意從k到k+1中間的變化過(guò)程．