Question

9．當(dāng)前，網(wǎng)購已成為現(xiàn)代大學(xué)生的時尚．某大學(xué)學(xué)生宿舍4人參加網(wǎng)購，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪家購物，擲出點數(shù)為5或6的人去淘寶網(wǎng)購物，擲出點數(shù)小于5的人去京東商城購物，且參加者必須從淘寶網(wǎng)和京東商城選擇一家購物．
（1）求這4個人中恰有1人去淘寶網(wǎng)購物的概率；
（2）用ξ，η分別表示這4個人中去淘寶網(wǎng)和京東商城購物的人數(shù)，記X=ξη，求隨機變量X的分布列與期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）這4個人中，每個人去淘寶網(wǎng)購物的概率為$\frac{1}{3}$，去京東網(wǎng)購物的概率為$\frac{2}{3}$，設(shè)“這4個人中恰有i個人去淘寶網(wǎng)購物”為事件A_i，由P（A_i）=${C}_{4}^{i}$•${（\frac{1}{3}）}^{i}$•${（\frac{2}{3}）}^{4-i}$，（i=0，1，2，3，4），求出這4個人中恰有1人去淘寶網(wǎng)購物的概率；
（2）由X的所有可能取值為0，3，4，P（X=0）=P（A₀）+P（A₄），P（X=3）=P（A₁）+P（A₃），P（X=4）=P（A₂），由此求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）依題意，這4個人中，每個人去淘寶網(wǎng)購物的概率為$\frac{1}{3}$，
去京東網(wǎng)購物的概率為$\frac{2}{3}$，
設(shè)“這4個人中恰有i個人去淘寶網(wǎng)購物”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），
則P（A_i）=${C}_{4}^{i}$•${（\frac{1}{3}）}^{i}$•${（\frac{2}{3}）}^{4-i}$，（i=0，1，2，3，4），
這4個人中恰有1人去淘寶網(wǎng)購物的概率P（A₁）=${C}_{4}^{1}$•$\frac{1}{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{32}{81}$；
（2）由已知得X的所有可能取值為0，3，4，
則P（X=0）=P（A₀）+P（A₄）=${C}_{4}^{0}$•${（\frac{2}{3}）}^{4}$+${C}_{4}^{4}$•${（\frac{1}{3}）}^{4}$=$\frac{17}{81}$，
P（X=3）=P（A₁）+P（A₃）=${C}_{4}^{1}$•$\frac{1}{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$+${C}_{4}^{3}$•${（\frac{1}{3}）}^{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{40}{81}$，
P（X=4）=P（A₂）=${C}_{4}^{2}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{24}{81}$，
∴X的分布列為：

X	0	3	4
P	$\frac{17}{81}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{24}{81}$

∴X的數(shù)學(xué)期望值為EX=0×$\frac{17}{81}$+3×$\frac{40}{81}$+4×$\frac{24}{81}$=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了概率的求法語句離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望問題，是綜合題．