Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點為直線上一點，過點作的垂線與以為直徑的圓相交于，兩點．

（1）若，求圓的方程；

（2）求證：點始終在某定圓上．

（3）是否存在一定點（異于點），使得為常數？若存在，求出定點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設，則圓的方程為，通過圓心到直線的距離，可得，從而得圓的方程；（2）設，利用消去參數，即得點的軌跡方程；（3）設點，（為常數），利用計算即可．

（1）設，則圓的方程為，

直線的斜率為，

又，

所以的斜率，

從而的方程為，即，

則圓心到直線的距離為，

由，解得，

所以圓的方程為；

（2）設，由得，

消去參數，得，

所以點的軌跡方程為圓：；

（3）設點，（為常數），

則，

整理，得，

由于，所以，

從而，解得或（舍），

所以存在定點，使得．