Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C．
（Ⅰ）證明：A1C1=AB1；
（Ⅱ）若AC⊥AB1 ， ∠BCC1=120°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：連接BC1 ， 交B1C于點(diǎn)O，連接AO，∵側(cè)面BB1C1C為菱形，∴B1C⊥BC1 ， 且O為B1C及BC1的中點(diǎn)．
又AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO．故B1C⊥AO．又B1O=CO，
故AC=AB1 ．
又AC=A1C1 ， ∴A1C1=AB1；
（Ⅱ）解：∵AC⊥AB1 ， 且O為B1C的中點(diǎn)，∴AO=CO．
又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC．故OA⊥OB，從而OA，OB，OB1兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)閤軸正方向，設(shè)|OB|=1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．
∵∠BCC1=120°，∴∠CBB1=60°，∴△CBB1為等邊三角形，又AB=BC，
則 ，B（1，0，0）， ， ．
設(shè) 是平面AA1B1的法向量，則 ，
∴可取 ．
設(shè) 是平面A1B1C1的法向量，則同理可取 ．
則 ．
∴結(jié)合圖形知二面角A﹣A1B1﹣C的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）連結(jié)BC1 ， 交B1C于點(diǎn)O，連結(jié)AO，可證B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B1O=CO，進(jìn)而可得A1C1=AB1；（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)閤軸的正方向，| |為單位長度， 的方向?yàn)閥軸的正方向， 的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別可得兩平面的法向量，可得所求余弦值．