已知定點A(－1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x＝，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由

解：(1)設P(x,y)，則
化簡得x2－=1(y≠0)…………………………………………4分
(2)①當直線BC與x軸不垂直時，設BC的方程為y＝k(x－2)(k≠0)
與雙曲線x2－=1聯(lián)立消去y得
(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0
由題意知3－k2≠0且△＞0
設B(x1,y1),C(x2,y2)，
則
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
＝k2(＋4)
＝
因為x1、x2≠－1
所以直線AB的方程為y＝(x＋1)
因此M點的坐標為()
,同理可得
因此
＝
＝0
②當直線BC與x軸垂直時，起方程為x＝2，則B(2,3),C(2,－3)
AB的方程為y＝x＋1,因此M點的坐標為()，
同理可得
因此＝0
綜上＝0，即FM⊥FN
故以線段MN為直徑的圓經過點F

解析

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知定點A（1，0），定圓C：（x+1）2+y2=8，M為圓C上的一個動點，點P在線段AM上，點N在線段CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，則點N的軌跡方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
ax
x+b
，且f（1）=1，f（-2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定點A（1，0），設點P（x，y）是函數(shù)y=f（x）（x＜-1）圖象上的任意一點，求|AP|的最小值，并求此時點P的坐標；
（3）當x∈[1，2]時，不等式f(x)≤
2m
(x+1)|x-m|
恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定點A（1，0）和定直線x=-1上的兩個動點E、F，滿足
AE
⊥
AF
，動點P滿足
EP
∥
OA
，
FO
∥
OP
（其中O為坐標原點）．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點B（0，2）的直線l與（1）中軌跡C相交于兩個不同的點M、N，若
AM
•
AN
＜0，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定點A（1，0），定直線l：x=5，動點M（x，y）
（Ⅰ）若M到點A的距離與M到直線l的距離之比為
5
5
，試求M的軌跡曲線C1的方程．
（Ⅱ）若曲線C2是以C1的焦點為頂點，且以C1的頂點為焦點，試求曲線C2的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定點A（1，0）和定圓B：x2+y2+2x-15=0，動圓P和定圓B相切并過A點，
（1）求動圓P的圓心P的軌跡C的方程．
（2）設Q是軌跡C上任意一點，求∠AQB的最大值．

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