Question

已知橢圓C的方程為，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），斜率為k（k≠0）的直線l經(jīng)過點(diǎn)F₂，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₁的周長為8，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)E為x軸上一點(diǎn)，（λ∈R），若，求點(diǎn)E的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，A、B不與橢圓C長軸兩端點(diǎn)重合，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120222/20120222131712678933.gif">的周長為8，即，
又，
所以，
根據(jù)橢圓的定義，得，
所以，，
又因?yàn)閏=1，所以，
所以橢圓C的方程為；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，0），由已知可得直線l的方程為y=k（x-1），
代入橢圓方程，
消去y整理得：， （*）
，
設(shè)，
則是方程（*）的兩個(gè)實(shí)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系可知：，
，
由已知，得，
由已知，
，

，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120222/201202221317128921121.gif">，
，
∴，
∴，
化簡(jiǎn)得：6m-24=0，m=4，
即E（4，0）。