Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，0＜q＜

1

2

，且對任意正整數(shù)k，a_k-（a_k+1+a_k+2）仍是該數(shù)列中的某一項(xiàng)，則公比q的取值集合為______．

Answer 1

等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=q^n-1，
a_k-（a_k+1+a_k+2）qk•(

1

q

-1-q)，
要使仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則

1

q

-1-q=qⁿ，
∵0＜q＜

1

2

，則

1

q

-1-q＞

1

2

，
即q⁰=1或qⁿ＜

1

2

，
∴

1

q

-1-q=1，
即q²+2q-1=0，
解得q=

2

-1，
故公比q的取值集合為{

2

-1}，
故答案為：{

2

-1}