Question

．已知定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414505884685528/SYS201208241451243676369055_ST.files/image001.png">的函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足：，且不是常函數(shù)，常數(shù)使，給出下列結(jié)論：①；②是奇函數(shù)；③是周期函數(shù)且一個(gè)周期為；④在內(nèi)為單調(diào)函數(shù).其中正確命題的序號(hào)是___________.

 

Answer 1

【答案】

③

【解析】根據(jù)題意，在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令y=0可得，

2f（x）=2f（x）f（0），又由f（x）不是常函數(shù)，即f（x）=0不恒成立，則f（0）=1，依次分析4個(gè)命題可得：對(duì)于①、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=y=,

可得,結(jié)合f（0）=1，f（t）=0，可得,則可得，故①錯(cuò)誤.

對(duì)于②、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=0，可得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），f（y）+f（-y）=0不恒成立，f（x）不是奇函數(shù)，故②錯(cuò)誤.

對(duì)于③、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令y=t可得，在f（x+t）+f（x-t）=2f（x）f（t）=0，即f（x+t）=-f（x-t），則f（x+3t）=-f（x+t）=f（x-t），即f（x+3t）=f（x-t），則f（x）是周期函數(shù)且一個(gè)周期為4t，③正確.

對(duì)于④、根據(jù)題意，無法判斷f（x）的單調(diào)性，則④錯(cuò)誤.故答案為③．