【題目】已知函數(shù)f(x)=eax﹣x,其中a≠0.
(1)若對(duì)一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合.
(2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點(diǎn)A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2)(x1<x2),記直線AB的斜率為K,問:是否存在x0∈(x1 , x2),使f′(x0)>k成立?若存在,求x0的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)
解:若a<0,則對(duì)一切x>0,函數(shù)f(x)=eax﹣x<1,這與題設(shè)矛盾,
∵a≠0,∴a>0
∵f′(x)=aeax﹣1,令f′(x)=0,可得
令f′(x)<0,可得 ,函數(shù)單調(diào)減;令f′(x)>0,可得 ,函數(shù)單調(diào)增,
∴ 時(shí),f(x)取最小值
∴對(duì)一切x∈R,f(x)≥1恒成立,則 ①
令g(t)=t﹣tlnt,則g′(t)=﹣lnt
當(dāng)0<t<1時(shí),g′(t)>0,g(t)單調(diào)遞增;當(dāng)t>1時(shí),g′(t)<0,g(t)單調(diào)遞減
∴t=1時(shí),g(t)取最大值g(1)=1
∴當(dāng)且僅當(dāng) =1,即a=1時(shí),①成立
綜上所述,a的取值集合為{1}
(2)
解:由題意知,
令φ(x)=f′(x)﹣k= ,則
令F(t)=et﹣t﹣1,則F′(t)=et﹣1
當(dāng)t<0時(shí),F(xiàn)′(t)<0,函數(shù)單調(diào)減;當(dāng)t>0時(shí),F(xiàn)′(t)>0,函數(shù)單調(diào)增;
∴t≠0時(shí),F(xiàn)(t)>F(0)=0,即et﹣t﹣1>0
∴ ,
∵ >0,
∴φ(x1)<0,φ(x2)>0
∴存在c∈(x1,x2),φ(c)=0
∵φ(x)單調(diào)遞增,故這樣的c是唯一的,且
當(dāng)且僅當(dāng)x∈( ,x2)時(shí),f′(x)>k
綜上所述,存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)>k成立,且x0的取值范圍為( ,x2)
【解析】(1)先確定a>0,再求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,可得 時(shí),f(x)取最小值 故對(duì)一切x∈R,f(x)≥1恒成立,則 ,構(gòu)建新函數(shù)g(t)=t﹣tlnt,則g′(t)=﹣lnt,確定函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,由此即可求得a的取值集合;(2)由題意知, ,構(gòu)建新函數(shù)φ(x)=f′(x)﹣k= ,則 , ,構(gòu)建函數(shù)F(t)=et﹣t﹣1,從而可證明φ(x1)<0,φ(x2)>0,由此即可得到存在x0∈(x1 , x2),使f′(x0)>k成立.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知A= ,bsin( +C)﹣csin( +B)=a,
(1)求證:B﹣C=
(2)若a= ,求△ABC的面積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)=f(x)+1,求函數(shù)y=f(x)與y=x圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)N=2n(n∈N* , n≥2),將N個(gè)數(shù)x1 , x2 , …,xN依次放入編號(hào)為1,2,…,N的N個(gè)位置,得到排列P0=x1x2…xN . 將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出,并按原順序依次放入對(duì)應(yīng)的前 和后 個(gè)位置,得到排列P1=x1x3…xN﹣1x2x4…xN , 將此操作稱為C變換,將P1分成兩段,每段 個(gè)數(shù),并對(duì)每段作C變換,得到P2 , 當(dāng)2≤i≤n﹣2時(shí),將Pi分成2i段,每段 個(gè)數(shù),并對(duì)每段作C變換,得到Pi+1 , 例如,當(dāng)N=8時(shí),P2=x1x5x3x7x2x6x4x8 , 此時(shí)x7位于P2中的第4個(gè)位置.
(1)當(dāng)N=16時(shí),x7位于P2中的第個(gè)位置;
(2)當(dāng)N=2n(n≥8)時(shí),x173位于P4中的第個(gè)位置.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓與軸交于兩點(diǎn),且(為圓心),過點(diǎn)且斜率為的直線與圓相交于兩點(diǎn)
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)若,求的取值范圍;
(Ⅲ)若向量與向量共線(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求的值
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,雙曲線 =1(a,b>0)的兩頂點(diǎn)為A1 , A2 , 虛軸兩端點(diǎn)為B1 , B2 , 兩焦點(diǎn)為F1 , F2 . 若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2 , 切點(diǎn)分別為A,B,C,D.則: (Ⅰ)雙曲線的離心率e=;
(Ⅱ)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值 = .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),某工程施工期間的將數(shù)量X(單位:mm)對(duì)工期的影響如下表:
降水量X | X<300 | 300≤X<700 | 700≤X<900 | X≥900 |
工期延誤天數(shù)Y | 0 | 2 | 6 | 10 |
歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9,求:
(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差;
(2)在降水量X至少是300的條件下,工期延誤不超過6天的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有成立,且.
(1)求的值;
(2)求的解析式,并用定義法證明在單調(diào)遞增;
(3)已知,設(shè)P:,不等式恒成立,Q:時(shí),是單調(diào)函數(shù)。如果滿足P成立的的集合記為A,滿足Q成立的集合記為B,求(R為全集)。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=﹣2py(p>0),點(diǎn)M(x0 , y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點(diǎn)為A,B(M為原點(diǎn)O時(shí),A,B重合于O),當(dāng)x0=1﹣ 時(shí),切線MA的斜率為﹣ .
(1)求P的值;
(2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A,B重合于O時(shí),中點(diǎn)為O).
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com