Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一條準(zhǔn)線方程為l：x=2，離心率為e=

2

2

，過橢圓的下頂點(diǎn)B（0，-b）任作直線l₁與橢圓交于另一點(diǎn)P，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若BP=2PQ，求直線直線l₁的方程；
（3）以BQ為直徑的圓與橢圓及準(zhǔn)線l分別交于點(diǎn)M（異于點(diǎn)B），問：BQ⊥MN能否成立？若成立，求出所有滿足條件的直線l₁的方程；若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓準(zhǔn)線方程為l：x=2，離心率為e=

2

2

，建立方程組，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用BP=2PQ，確定P、Q坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用代入法可求Q的坐標(biāo)，從而可求直線l₁的方程；
（3）分類討論，確定圓的方程，從而可得M、N的坐標(biāo)，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，

a2 c =2 c a = 2 2

，∴a=

2

，c=1，∴b²=a²-c²=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，y），則
∵BP=2PQ，B點(diǎn)為（0，-1）
∴x₁=

4

3

，y₁=

2

3

y-

1

3

         
P點(diǎn)代入橢圓：

16 9

2

+（

2

3

y-

1

3

）²=1
∴y²-y=0
∴y=0或y=1
∴Q（2，0）或（2，1）
∴直線l₁的方程為y=x-1或y=

1

2

x-1；
（3）因?yàn)橛袃蓷l直線，分別考慮
①y=x-1，此時，以（0，-1）（2，1）兩點(diǎn)連線為直徑做圓，圓心為 （1，0），半徑r=

2

，則此圓方程為：（x-1）²+y²=2
圓與橢圓方程、準(zhǔn)線方程聯(lián)立，可得M為（0，1），N為（2，-1）
∴MN的斜率為：k₁=

1+1

0-2

=-1，
∵BQ斜率為k₂=1，
∵k₁k₂=-1，∴BQ⊥MN；
②當(dāng)另一條直線：y=

1

2

x-1時，過（0，-1）（2，0）兩點(diǎn)連線為直徑做圓，圓心（1，-

1

2

），r=

5

2

，則此圓方程（x-1）²+（y+

1

2

）²=

5

4

圓與準(zhǔn)線方程聯(lián)立，可得N為（2，-1），由（1）知M（0，1）滿足，故此時不滿足BQ⊥MN，
綜上，滿足條件的直線l₁的方程為y=x-1

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．