Question

在平面直角坐標系xoy中，已知四邊形OABC是平行四邊形，A（4，0），C（1，

3

），點M是OA的中點，點P在線段BC上運動（包括端點），如圖
（Ⅰ）求∠ABC的大小；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)λ，使(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

？若存在，求出滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于四邊形OABC是平行四邊形，由cos∠ABC=cos∠AOC=

OA • OC

| OA |•| OC |

=

1

2

，求得∠ABC的值．
（II）設(shè)P(t，

3

)，其中1≤t≤5，由(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

，可得(λ

OA

-

OP

)•

CM

=0，求得λ的解析式，再根據(jù)1≤t≤5，求得λ的值，從而得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題意，得

OA

=(4，0)，

OC

=(1，

3

)，因為四邊形OABC是平行四邊形，
所以，cos∠ABC=cos∠AOC=

OA • OC

| OA |•| OC |

=

1

2

，于是，∠ABC=

π

3

．…（6分）
（II）設(shè)P(t，

3

)，其中1≤t≤5，
于是

OP

=(t，

3

)，λ

OA

-

OP

=(4λ-t，-

3

)，

CM

=(1，-

3

)．…（9分）
若(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

，則(λ

OA

-

OP

)•

CM

=0，
即4λ-t+3=0?λ=

t-3

4

．…（12分）
又1≤t≤5，所以λ=

t-3

4

∈[-

1

2

，

1

2

]，故存在實數(shù)λ∈[-

1

2

，

1

2

]，
使(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

．…（14分）

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，用兩個向量的數(shù)量積表示兩個向量的夾角，屬于中檔題．