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若∠B=60°，O為△ABC的外心，點P在△ABC所在的平面上， $數學公式$ = $數學公式$ + $數學公式$ + $數學公式$ ，且 $數學公式$ • $數學公式$ =8，則邊AC上的高h的最大值為________．

$\text{[math]}$
分析：根據題意，得點P是△ABC的垂心，從而 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，將 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 化簡為 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =8，結合∠B=60°算出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 和三角形ABC的面積．利用余弦定理，算出當且僅當 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4時， $\text{[math]}$ 有最小值為4，結合三角形面積為4 $\text{[math]}$ ，可得AC上的高h的最大值為2 $\text{[math]}$ ．
解答：

解：∵O為△ABC的外心， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴點P是△ABC的垂心，即P是三條高線的交點
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ =8
∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =8
∵∠B=60°，∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ cos60°=8，得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =16
根據正弦定理的面積公式，得S_△ABC= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ sin60°=4 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ cos60°= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -16
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =32
∴ $\text{[math]}$ ≥16，得當且僅當 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4時， $\text{[math]}$ 有最小值為4
∵S_△ABC= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ •h=4 $\text{[math]}$ ，h是邊AC上的高
∴h≤ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，當且僅當 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4時，邊AC上的高h的最大值為2 $\text{[math]}$
故答案為：2 $\text{[math]}$
點評：本題在△ABC中，已知一個角和兩邊長度之積，求另一邊上高的最大值，著重考查了三角形外心與垂直的聯系、平面向量數量積的運算性質和正余弦定理等知識，屬于中檔題．

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