Question

【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2．
（Ⅰ）證明：不論t為何值，直線l與曲線C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（Ⅱ）以α為參數(shù)，求直線l與曲線C相交所得弦AB的中點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并判斷該軌跡的曲線類型．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4， 將 代入x2+y2=4，得t2+2tcosα﹣3=0，（*）
由△=（2cosα）2﹣4×（﹣3）＞0，知方程（*）恒有兩個(gè)不等實(shí)根，
故不論t為何值，直線l與曲線C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)．
解：（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線交點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1 ， t2 ， 弦AB中點(diǎn)P對(duì)應(yīng)參數(shù)為t0 ，
由（*）知 =﹣cosα，
代入 中，整理，得弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程為 ，
即 （α為參數(shù)），該曲線為圓
【解析】（Ⅰ）由曲線C的極坐標(biāo)方程求出曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4，將 代入x2+y2=4，得t2+2tcosα﹣3=0，利用根的判別式能證明不論t為何值，直線l與曲線C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)．（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線交點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1 ， t2 ， 弦AB中點(diǎn)P對(duì)應(yīng)參數(shù)為t0 ， 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出 =﹣cosα，代入 中，能得到弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程，由此能求出結(jié)果．