(2008•盧灣區(qū)一模)在△ABC中,已知∠A=45°,∠B=75°,點(diǎn)D在AB上,且CD=10.
(1)若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合,試求線段AB的長(zhǎng);
(2)在下列各題中,任選一題,并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程,求出結(jié)果.
①(解答本題,最多可得6分)若CD⊥AB,求線段AB的長(zhǎng);
②(解答本題,最多可得8分)若CD平分∠ACB,求線段AB的長(zhǎng);
③(解答本題,最多可得10分)若點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).
分析:(1)先由A和B的度數(shù)求出C的度數(shù),若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合,DC即為AC的長(zhǎng),故由AC,sinB及sinC的值,利用正弦定理即可求出AB的長(zhǎng);
(2)若選①,由A和B的度數(shù)求出∠ACB的度數(shù),根據(jù)CD與AB垂直,由A的度數(shù)求出∠ACD的度數(shù),進(jìn)而得到∠BCD的度數(shù),在直角三角形ACD中,由CD的長(zhǎng)及tan∠ACD的值,求出AD的長(zhǎng),在直角三角形BCD中,由tan∠BCD及CD的長(zhǎng),求出BD的長(zhǎng),利用AD+DB即可求出AB的長(zhǎng);
若選②,由A和B的度數(shù)求出∠ACB的度數(shù),根據(jù)CD為角平分線,可得∠ACD=∠BCD=
1
2
∠ACB,在三角形ACD中,由CD,sinA及sin∠ACD的值,利用正弦定理求出AD的長(zhǎng),同理在三角形BCD中,由CD,sinB及sin∠BCD的值,利用正弦定理求出BD的長(zhǎng),根據(jù)AD+DB=AB,即可求出AB的長(zhǎng);
若選③,延長(zhǎng)CD到E,使ED=CD,連接AE及BE,由D為AB中點(diǎn),根據(jù)對(duì)角線互相平方的四邊形為平行四邊形可得ACBE為平行四邊形,得到兩組對(duì)邊相等,在三角形ACE中,根據(jù)余弦定理表示出CE2=AC2+AE2-2AC•AE•cos∠CAE,且由AE與CB平行,根據(jù)∠ACB的度數(shù)求出∠CAE的度數(shù),BC=AE,同時(shí)根據(jù)正弦定理,用sinB,sin∠ACB及AB表示出AE積AC,代入表示出的式子中,得到關(guān)于AB的方程,求出方程的解得到AB的長(zhǎng).
解答:解:(1)∵∠A=45°,∠B=75°,
∴∠ACB=60°,又sin75° =sin(45° +30° )=
6
+
2
4
,
由正弦定理,得AB=
AC•sin∠ACB
sin∠B
=
10sin60°
sin75°
=15
2
-5
6
;
(2)根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形,如圖所示:

若選①,如圖①所示:
若CD⊥AB,∠ACD=∠ACB-∠BCD=60°-15°=45°,又∠A=45°,
∴∠ACD=∠A,
∴AD=CD=10,又∠BCD=15°,由cos15°=sin75° =
6
+
2
4
,
sin15° =
6
-
2
4
,tan15° =2-
3
,
BD=10tan∠BCD=20-10
3
,AB=AD+DB=30-10
3
;
若選②,如圖②所示:
∵∠A=45°,∠B=75°,
∴∠ACB=60°,又CD為角平分線,
∠ACD=∠BCD=30°,得AD=
10sin∠ACD
sinA
=5
2
,BD=
10sin∠BCD
sinB
=5(
6
-
2
),AB=AD+DB=5
6
;
若選③,根據(jù)正弦定理得:AC=
ABsinB
sin∠ACB
=
ABsin75°
sin60°
,BC=
ABsinA
sin∠ACB
=
ABsin45°
sin60°

如圖③所示:延長(zhǎng)CD到E,使DE=CD,連接EA、EB,
由余弦定理可得CE2=AC2+AE2-2AC•AE•cos∠CAE,
又cos∠CAE=cos(π-∠ACB)=-cos∠ACB,BC=AE,
得(2CD)2+AB2=2AC2+2BC2,
400+AB2=
AB2(
6
+
2
)
2
2•3
+
4AB2
3

解得:AB=
1200
5+2
3
點(diǎn)評(píng):此題考查了正弦定理,余弦定理,誘導(dǎo)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,銳角三角形函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值,第二問(wèn)是多選一的問(wèn)題,學(xué)生只需選擇一個(gè)解答即可.正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關(guān)系,熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.
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3x
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1
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-
21
x
2
-
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