如圖，已知三棱錐A-BCD的側(cè)視圖，俯視圖都是直角三角形，尺寸如圖所示．
（1）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（2）在線段AC上是否存在點F，使得BF⊥面ACD？若存在，求出CF的長度；若不存在說明理由．
（1）取BD的中點O，連AO，則AO⊥面CBD．
以O(shè)為原點建立空間直角坐標系，如圖．
A（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2
3
，0），D（-1，0，0）．
AB
=(1，0，-1)，
CD
=(-2，-2
3
，0)，cos＜
AB
，
CD
＞=-
2
4
．
所以所求異面直線AB與CD所成角的余弦值為
2
4
；（5分）
（2）設(shè)
CF
=λ
CA
，
則
BF
=
BC
+
CF
=(-λ，2
3
(1-λ)，λ)
由BF⊥面ACD得：
BF
•
CA
=2λ-12(1-λ)=0
BF
•
AD
=λ-λ=0

解得λ=
6
7
，
|
CF
|=
6
7
|
CA
|=
6
7
14
，（5分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

 已知：如圖12，P是正方形ABCD所在平面外一點，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．
求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是等邊三角形，E是BC中點，若PA=AB，則異面直線PE與AB所成角的余弦值（　�。�
A．
3
7
14
B．
21
6
C．
5
10
D．
2
3

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（　�。�
A．
3
3
B．
6
6
C．
3
4
D．
3
6

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為8，側(cè)棱長為6，D為AC中點．
（1）求證：AB1∥平面C1DB；
（2）求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中點，
（Ⅰ）求直線BC與A1C所成的角的度數(shù)．
（Ⅱ）求證：A1C∥平面BDE．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，AO⊥平面BCD，CA=CB=CD=BD=2．
（1）求證：面ABD⊥面AOC；
（2）求異面直線AE與CD所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，CC1的中點，則異面直線A1C與EF所成角的余弦值為（　�。�
A．
3
3
B．
2
3
C．
1
3
D．
1
6

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°．若△ABC所在平面α外一點P到A、B、C的距離都是14，則直線PC與平面ABC所成角的正弦值為（　�。�
A．
13
14
B．
11
14
C．
9
14
D．
1
2

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