【題目】已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且.
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】(1) 時(shí), 單調(diào)遞減, 時(shí), 單調(diào)遞增(2) 當(dāng)時(shí), 有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)和或時(shí), 有兩個(gè)零點(diǎn),當(dāng)且, 由三個(gè)零點(diǎn).
【解析】試題分析:(1)首先明確的表達(dá)式,求出在上單調(diào)遞增,且,從而得到的單調(diào)區(qū)間;
(2)由,得或,若,即,
轉(zhuǎn)而判斷直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
試題解析:
(1)對(duì),求導(dǎo)可得,
所以,與是,所以,
所以,
于是在上單調(diào)遞增,注意到,
故時(shí), 單調(diào)遞減, 時(shí), 單調(diào)遞增.
(2)由(1)可知,
由,得或,
若,則,即,
設(shè)
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
分析知時(shí), 時(shí), 時(shí), ,
現(xiàn)考慮特殊情況:
①若直線與相切,
設(shè)切點(diǎn)為,則 ,整理得,
設(shè),顯然在單調(diào)遞增,
而,故,此時(shí).
②若直線過點(diǎn),由,則,則,
結(jié)合圖形不難得到如下的結(jié)論:
當(dāng)時(shí), 有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)和或時(shí), 有兩個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)且, 由三個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某批次的某種燈泡中,隨機(jī)地抽取個(gè)樣品,并對(duì)其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查,將結(jié)果列成頻率分布表如下.根據(jù)壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個(gè)等級(jí),其中壽命大于或等于天的燈泡是優(yōu)等品,壽命小于天的燈泡是次品,其余的燈泡是正品.
壽命(天) | 頻數(shù) | 頻率 |
合計(jì) |
(Ⅰ)根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù),寫出, 的值.
(Ⅱ)某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購(gòu)買了個(gè),求個(gè)燈泡中恰有一個(gè)是優(yōu)等品的概率.
(Ⅲ)某人從這個(gè)批次的燈泡中隨機(jī)地購(gòu)買了個(gè)進(jìn)行使用,若以上述頻率作為概率,用表示此人所購(gòu)買的燈泡中次品的個(gè)數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠ABC=60°,為正三角形,且側(cè)面PAB⊥底面ABCD, 為線段的中點(diǎn), 在線段上.
(I)當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí),求證:PB // 平面ACM;
(II)求證: ;
(III)是否存在點(diǎn),使二面角的大小為60°,若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, .
(Ⅰ)求函數(shù)圖象恒過的定點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)若恒成立,求的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的條件下,證明: 存在唯一的極小值點(diǎn),且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bcos2 +acos2 = c.
(Ⅰ)求證:a,c,b成等差數(shù)列;
(Ⅱ)若C= ,△ABC的面積為2 ,求c.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若,且方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形為平行四邊形, 平面,且是的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求二面角的余弦值的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值;
(Ⅲ)若函數(shù),當(dāng)時(shí), 的最大值為,求證: .
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