(本小題滿分12分)
已知點R(-3,0),點P在y軸上,點Q在x軸的正半軸上,點M在直線PQ上 ,且滿足,.
(Ⅰ)當點P在y軸上移動時,求點M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設為軌跡C上兩點,且,N(1,0),求實數,使,且.
(Ⅰ);(Ⅱ)。
解析試題分析:(Ⅰ)設點M(x,y),由得P(0,),Q().
由得(3,)·(,)=0,即
又點Q在x軸的正半軸上,故點M的軌跡C的方程是.……6分
(Ⅱ)解法一:由題意可知N為拋物線C:y2=4x的焦點,且A、B為過焦點N的直線與拋物線C的兩個交點。
當直線AB斜率不存在時,得A(1,2),B(1,-2),|AB|,不合題意;……7分
當直線AB斜率存在且不為0時,設,代入
得
則|AB|,解得 ………………10分
代入原方程得,由于,所以,
由,得 . …………………12分
解法二:由題設條件得
由(6)、(7)解得或,又,故
考點:直線與拋物線的綜合應用;向量在幾何中的應用;軌跡方程的求法。
點評:求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題之一。本題主要考查利用“相關點法”求曲線的軌跡方程。相關點法:用動點Q的坐標x,y表示相關點P的坐標x0、y0,然后代入點P的坐標(x0,y0)所滿足的曲線方程,整理化簡便得到動點Q軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做相關點法.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E.
(1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;
(2)已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且(O為坐標原點),并求出該圓的方程;
(3)已知,設直線與圓C:(1<R<2)相切于A1,且與軌跡E只有一個公共點B1,當R為何值時,|A1B1|取得最大值?并求最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知在平面直角坐標系中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為,且過點.
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)設點,若是橢圓上的動點,求線段的中點的軌跡方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,且過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)四邊形ABCD的頂點在橢圓上,且對角線A C、BD過原點O,若,
(i) 求的最值.
(ii) 求證:四邊形ABCD的面積為定值;
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓C: (a>b>0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)若斜率為k的直線過點M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點.試探討k為何值時,三角形OAB為直角三角形.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題13分)已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設O為坐標原點,點A,B分別在橢圓和上,,求直線的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓的離心率為,右焦點為(,0),斜率為1的直線與橢圓G交與A、B兩點,以AB為底邊作等腰三角形,頂點為.
(1)求橢圓G的方程;
(2)求的面積.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓的離心率,過點和的直線與原點的距離為。⑴求橢圓的方程;⑵已知定點,若直線與橢圓交于兩點,問:是否存在的值,使以為直徑的圓過點?請說明理由。
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