如圖，在空間四邊形PABC中，PA⊥面ABC，AC⊥BC，若點(diǎn)A在PB、PC上的射影分別是E、F，求證：EF⊥PB.

解析:欲證EF⊥PB,由已知AE⊥PB,可考慮從確定平面PBC的垂線入手,用三垂線定理或逆定理進(jìn)行證明.

證明:∵PA⊥平面ABC,

∴PA⊥BC.

    又∵AC⊥BC,PA∩AC=A,

∴BC⊥平面PAC.

    而AF平面PAC,

∴BC⊥AF.

    又∵F是點(diǎn)A在PC上的射影,

∴AF⊥PC.

∴AF⊥平面PBC.

∴AE在面PBC的射影為EF.

    又∵E為A在PB上的射影,

∴AE⊥PB.

    由三垂線定理的逆定理知EF⊥PB.

點(diǎn)評:(1)應(yīng)用三垂線定理或逆定理證明線線垂直,關(guān)鍵是確定好平面的垂線.如本題證明AF⊥面PBC是關(guān)鍵.

(2)本題也可以通過證明PB⊥面AEF,來證明PB⊥EF.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在空間四邊形ABCD中，M，N分別是線段AB，AD上的點(diǎn)，若
AM
MB
=
AN
ND
，P為線段CD上的一點(diǎn)（P與D不重合），過M，N，P的平面交平面BCD于Q，求證：BD∥PQ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：學(xué)習(xí)周報(bào)　數(shù)學(xué)　人教課標(biāo)高一版(A必修2)　2009－2010學(xué)年　第16期　總172期 人教課標(biāo)高一版 題型：044

如圖，在空間四邊形ABCD中，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且滿足＝＝＝＝k．

求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面，且四邊形MNPQ為平行四邊形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：047

如圖，在空間四邊形ABCD中，M、N分別是線段AB、AD上的點(diǎn)，若，P為線段CD上的一點(diǎn)(P與D不重合)，過M、N、P的平面與直線BC交于Q．求證：BD∥PQ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在空間四邊形ABCD中，M，N分別是線段AB，AD上的點(diǎn)，若
AM
MB
=
AN
ND
，P為線段CD上的一點(diǎn)（P與D不重合），過M，N，P的平面交平面BCD于Q，求證：BD∥PQ．
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如圖，在空間四邊形ABCD中，M，N分別是線段AB，AD上的點(diǎn)，若，P為線段CD上的一點(diǎn)（P與D不重合），過M，N，P的平面交平面BCD于Q，求證：BD∥PQ．

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