Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（－1,1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，且點(diǎn)的坐標(biāo)為.

試題分析：(1)本題只要直接設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，用表示出已知條件，即可求出所求軌跡方程；（2）此問題存在性問題，解決的方法是假設(shè)這個(gè)點(diǎn)存在，然后根據(jù)已知條件去求這個(gè)點(diǎn)，若能求出，則存在，若求不出，則不存在在．即設(shè)存在題設(shè)的點(diǎn)，其坐標(biāo)為，然后求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出和，令＝，求．當(dāng)然考慮到△PAB與△PMN有一對(duì)對(duì)頂角，也可這樣求三角形的面積：，，由于，所以由＝，得，也即，這個(gè)式子可很快求出．
試題解析：（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)得坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為由題意得 ，化簡(jiǎn)得：.
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：             4分
（2）解法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)為，
則直線AP的方程為，直線BP的方程為，
令，得，．
于是的面積是，
又直線AB的方程為，，點(diǎn)P到直線AB的距離，
于是的面積
當(dāng)＝時(shí)，，
又，∴，解得，
又，∴，
故存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為．
解法二：若存在點(diǎn)使得與的面積相等，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
則.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030405376989.png" style="vertical-align:middle;" />, 所以，
所以 即，解得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030406156701.png" style="vertical-align:middle;" />，所以故存在點(diǎn)S使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.              10分