【題目】如圖,已知四棱錐S﹣ABCD,SB⊥AD,側(cè)面SAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,底面ABCD為菱形,側(cè)面SAD與底面ABCD所成的二面角為120°.
(1)求點(diǎn)S到平面ABCD的距離;
(2)若E為SC的中點(diǎn),求二面角A﹣DE﹣C的正弦值.
【答案】
(1)
解:如圖,作SO⊥平面ABCD,垂足為點(diǎn)O.
連接OB,OA,OD,OB與AD交于點(diǎn)F,連接SF.
∵SB⊥AD,
∴OB⊥AD.
∵SA=SD,
∴OA=OD.
∴點(diǎn)F為AD的中點(diǎn),所以SF⊥AD.
由此知∠SFB為側(cè)面SAD與底面ABCD所成的二面角的平面角,
∴∠SFB=120°,
∵側(cè)面SAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,
∴SF= =2 ,
∴SO=SFsin60°=2 =3,
即點(diǎn)S到平面ABCD的距離為3
(2)
解:如圖以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),使y軸與BC平行,OB,OS所在直線分別為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
由已知得:A( ,2,0),D( ,0),C(3 ,﹣4,0),E( ,﹣2, ),
=(0,﹣4,0), =( ,0, ), =(﹣ ,2, ),
設(shè)平面ADE的法向量為 ,
則 令x= ,得 =( ,0,﹣1).
設(shè)平面DEC的法向量為 =(x,y,z),
則 ,令x= ,得 =( ,3,﹣1),
設(shè)二面角的平面角為θ,
則cosθ= = = ,
∴sinθ= = ,
∴二面角A﹣DE﹣C的正弦值為
【解析】(1)解:作SO⊥平面ABCD,連接OB,OA,OD,OB與AD交于點(diǎn)F,連接SF.推導(dǎo)出OB⊥AD,SF⊥AD.從而∠SFB為側(cè)面SAD與底面ABCD所成的二面角的平面角,由此能求出點(diǎn)S到平面ABCD的距離.(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),使y軸與BC平行,OB,OS所在直線分別為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的左、右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,若, 與軸垂直,且.
(1)求橢圓方程;
(2)過(guò)點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn),已知點(diǎn),當(dāng)時(shí),求滿足的直線的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是
A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) , ,
⑴ 若有零點(diǎn),求 m 的取值范圍;
⑵ 確定 m 的取值范圍,使得有兩個(gè)相異實(shí)根.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)及圓.
(1)若直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的線段長(zhǎng)為,求的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)的圓的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知F1 , F2分別為橢圓C: + =1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),橢圓上點(diǎn)M( , )到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓交于點(diǎn)N(點(diǎn)N在第一象限),E,F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果kEN+KFN=0,證明直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】BD是等腰直角三角形△ABC腰AC上的中線,AM⊥BD于點(diǎn)M,延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)N,AF⊥BC于點(diǎn)F,AF與BD交于點(diǎn)E.
(1)求證;△ABE≌△ACN;
(2)求證:∠ADB=∠CDN.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,若存在x1 , x2 , 當(dāng)0≤x1<x2<2時(shí),f(x1)=f(x2),則x1f(x2)﹣f(x2)的取值范圍為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,AC是圓O的一條直徑,PA⊥平面ABCD,PA=AC=2,E是PC的中點(diǎn),∠DAC=∠AOB
(1)求證:BE∥平面PAD;
(2)若二面角P﹣CD﹣A的正切值為2,求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.
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